线性优化之单纯性算法（1）
本人非数学专业，此篇为自己的demo方便以后查看，请各位不吝赐教
一. Formulate the problem
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Ordinary Form
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Standard Form
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Why we’d like Standard Form?
- 将”不规范“的不等条件以升维的方式转化为“规范”等式条件以及规范不等条件
- 规范？ x>=0; y>=0; z>=0 ;
- 交点都在”坐标轴“，电脑算得巴适得很
- sum：以空间复杂度换取时间复杂度
二.最优解的刻画
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Extreme Point
1）这是从Ordinary Form角度出发的概念，为可行域的“拐把子点”
2）如果存在最优解，易证，其一定在extreme point处取到 -
Basic Feasible Point
1） 这是从Standard Form角度出发的概念
2） 前提：Am*n；行满秩；
* 在n列选出m独立列组成AB，求得XB=AB-1*b；
* 若XB>=0，则XB就为一组BFS -
Relation
前面说过最值一定在extreme point，但是对计算机来说这种描述问题的方式不太舒服，于是利用前面提到的Standard Form的形式对extreme point在高维度重新进行了刻画，二者为硬币正反面。 -
只要把所有BFS找到，带进去取最小opt val就行了。如此，我们就大功告成了。但是这么一搞计算量太大，有很多冗余计算，有没有其他的方法呢？
三. 单纯型算法求得最优解
1）移动方向？
X‘ = X+thata * d(j)
通过确保移动后的点在可行域内
d(j) = (-AB-1* Aj,0…1…0)
2) 移动成本与抉择？
成本: CT * d
nonbasic里取成本小于0的当做入基方向 j
3）给到一个入基j选取出基 i？
bfs一定在“边界”，即X+thata*d(j)为0那么就该挑挑了
若 dj均 >=0 (table里j列<0)，=> 则unbounded
为了保证可行域，不能“偏心”，在所有满足边界点里挑一个步长最大的，xi 对应的 i 即为出基
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Degeneracy
- 如何产生？ 低维度来看：多条线相交于一点，条件冗余。
- 如果一个BFS不是degenerate的，那么迭代完obj一定严格递减，因为线性规划单纯性算法不converge的唯一因素即为degenerate.
- 如果当选择出基变量时有多个indice of basic都取到了最小值，那么算出来的BFS必定为degenerate的。说明移动theta步长后，有多个basic变为0，但只能出去一个，生下来的可不就degenerate了
- 如果一个BFS为degenerate，迭代完有可能obj不变，若逼不得已只能选0那row出基，下一步obj可不就不变了。不变的低维与高维分析一个点经历一次迭代后，opt val未变，
高维：该点到另外一个点，但是opt相同
低维：高维投影到低维来看，虽位置没变，但是“掉了个头”，从一条线转移到了另外一条线了（因为多条线相交为degenerate的原因之所在） -
Bland’s Rule
如果每次选入基出基都选最小indice 那么：
1）no cylcle will happen
2）可以保证有限次迭代后有最优解
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Initialize
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Two Phase Method
1）引入人工变量创建新的优化问题，BFS是(0,b)
2）simplex 求解，若opt val不为0，则infesible
3）去掉人工变量，若有0存在，则再从原问题挑能组成独立基的新列，将其值set为0，如此原问题bfs就get了
4）算出新的reduced cost
将上面最后一步的表，人工变量列去掉，若存在0的情况，需要交换row，则选择pivot element将其set为1，此列其余为0，则原始问题的tableau就ok了 -
Big M Method
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表格(富士康流水线表) 。。。略