最优化技术——第七周周四 线性规划与单纯线性法

文章目录

• 单纯形法的思路
• 例题：
• 单纯形法的迭代原理
• 1、选择初始基，确定初始基本可行解
• 2、 判断当前解是否是最优解
• 3、 解的改进
• - 解的改进面临三个问题：
• 单纯形表——工具
• 4、检验当前基本可行解是否为最优解？
• - 最优解判别定理
• 例： 用单纯形法求下列线性规划的最优解
• 1）将问题化为标准型，加入松弛变量$X_3$X3​ 、$X_4$X4​
• 2) 求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
• 3）进行最优性检验
• 4) 从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表
• 系数矩阵中没有现成的单位阵，怎么办？
• 人工变量法（**大M法**和两阶段法）
• 两阶段法
• 总结：
• 无界解示例:
• 本章内容小结：
• 课后作业：

单纯形法的思路

例题：

单纯形法的迭代原理

1、选择初始基，确定初始基本可行解

2、 判断当前解是否是最优解

3、 解的改进

- 解的改进面临三个问题：

单纯形表——工具

4、检验当前基本可行解是否为最优解？

- 最优解判别定理

对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果所有检验数 $\delta_j$δj​ $\lt$< 0，
则这个基可行解是最优解。（即非基变量的检验数均小于0，存在唯一最优解）

非基变量的检验数存在等于0，无穷多最优解
存在某非基变量xj的检验数 大于0，但该变量所对应的所有系数 $aij$aij 均小于等于0，无界解。

例： 用单纯形法求下列线性规划的最优解

1）将问题化为标准型，加入松弛变量$X_3$X3​ 、$X_4$X4​

2) 求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。

3）进行最优性检验

如果表中所有检验数 $\delta_j$δj​ $\le$≤ 0，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步

4) 从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表

系数矩阵中没有现成的单位阵，怎么办？

加入人工变量

人工变量法（大M法和两阶段法）

两阶段法

总结：

1）当所有非基变量的检验数都小于零，则原问题有唯一最优解；
2）当所有非基变量的检验数都小于等于零，注意有等于零的检验数，则有无穷多个最优解；
3）当任意一个大于零的非基变量的检验数，其对应的ajk（求最小比值的分母，即该检验数所对应的该列的数）都小于等于零时，则原问题有无界解；
4）添加人工变量后，当所有非基变量的检验数都小于等于零，而基变量中有人工变量时，则原问题无可行解。

无界解示例:

本章内容小结：

课后作业：