雷达原理（第五版）常见公式

第 1 章 绪论

1.1.1 雷达回波中的可用信息

$R : 斜距，雷达到目标的直线距离$R:斜距，雷达到目标的直线距离
$H : 目标距水平面的高度$H:目标距水平面的高度
$D : 水平距离$D:水平距离
$\alpha : 方位角，目标斜距R在水平面的投影与某一起始方向在水平面的夹角$α:方位角，目标斜距R在水平面的投影与某一起始方向在水平面的夹角
$\beta : 仰角，斜距与水平面的夹角$β:仰角，斜距与水平面的夹角

$\begin{aligned} D&=R\cos\beta\\ H&=R\sin\beta\\ \alpha&=\alpha \end{aligned}$DHα​=Rcosβ=Rsinβ=α​

$R : 目标到雷达的单程距离$R:目标到雷达的单程距离
$c : 光速，(c=3\times10^8(m/s))$c:光速，(c=3×108(m/s))
$t_{r} : 电磁波往返于目标与雷达之间的时间间隔，(1\mu s=1\times10^{-6}s)$tr​:电磁波往返于目标与雷达之间的时间间隔，(1μs=1×10−6s)

$R=\frac{ct_{r}}{2}$R=2ctr​​

$f_{d} : 多普勒频移，(Hz)$fd​:多普勒频移，(Hz)
$v_{r} : 雷达与目标之间的径向速度，(m/s)$vr​:雷达与目标之间的径向速度，(m/s)
$\lambda : 载波波长，(m)$λ:载波波长，(m)

$\begin{aligned} f_{d}&=\frac{2v_{r}}{\lambda}\\ &=\frac{2v_{r}\cos\theta}{\lambda}\qquad(有夹角时) \end{aligned}$fd​​=λ2vr​​=λ2vr​cosθ​(有夹角时)​

1.1.2 基本雷达方程

$P_{t} : 雷达发射机功率$Pt​:雷达发射机功率
$G : 天线增益$G:天线增益
$R : 雷达与目标的距离$R:雷达与目标的距离
$S_{1} : 雷达照射到目标的功率密度$S1​:雷达照射到目标的功率密度
$\sigma : 雷达截面积$σ:雷达截面积
$S_{2} : 雷达照射到目标，反射回雷达的功率密度$S2​:雷达照射到目标，反射回雷达的功率密度
$A_{e} : 天线的有效接受面积$Ae​:天线的有效接受面积
$\lambda : 载波波长，(m)$λ:载波波长，(m)
$P_{r} : 回波功率$Pr​:回波功率
$S_{min} : 最小可检测信号，(S_{min} \in P_{r})$Smin​:最小可检测信号，(Smin​∈Pr​)
$R_{max} : 雷达最大作用距离，(R_{max} \in R)$Rmax​:雷达最大作用距离，(Rmax​∈R)

$G=\frac{4\pi A_{e}}{\lambda^2}$G=λ24πAe​​
$\begin{aligned} S_{1}&=\frac{P_{t}}{4\pi R^2}\\ S_{2}&=S_{1}\frac{\sigma}{4\pi R^2}=\frac{P_{t}}{4\pi R^2}\cdot\frac{\sigma}{4\pi R^2}\\ P_{r}&=A_{e}S_{2}=\frac{P_{t}GA_{e}\sigma}{(4\pi)^2R^4}\\ \end{aligned}$S1​S2​Pr​​=4πR2Pt​​=S1​4πR2σ​=4πR2Pt​​⋅4πR2σ​=Ae​S2​=(4π)2R4Pt​GAe​σ​​
$\begin{aligned} R_{max}&=\left[\frac{P_{t}GA_{e}\sigma}{(4\pi)^2S_{min}}\right]^{1/4}\qquad(P_{r}=S_{sin})\\ &=\left[\frac{P_{t}G^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3S_{min}}\right]^{1/4}\qquad(G=\frac{4\pi A_{e}}{\lambda^2})\\ &=\left[\frac{P_{t}A_{e}^2\sigma}{4\pi\lambda^2S_{min}}\right]^{1/4}\qquad(G=\frac{4\pi A_{e}}{\lambda^2}) \end{aligned}$Rmax​​=[(4π)2Smin​Pt​GAe​σ​]1/4(Pr​=Ssin​)=[(4π)3Smin​Pt​G2λ2σ​]1/4(G=λ24πAe​​)=[4πλ2Smin​Pt​Ae2​σ​]1/4(G=λ24πAe​​)​

第 2 章 雷达发射机

2.2.2 输出功率

$P_{t} : 峰值功率，脉冲期间射频振荡的平均功率$Pt​:峰值功率，脉冲期间射频振荡的平均功率
$P_{av} : 平均功率，脉冲重复周期内的输出功率的平均值$Pav​:平均功率，脉冲重复周期内的输出功率的平均值
$f_{r} : 重复频率$fr​:重复频率
$\tau : 脉冲宽度$τ:脉冲宽度
$T_{r} : 脉冲重复周期$Tr​:脉冲重复周期
$D : 工作比/占空比$D:工作比/占空比

$$
\begin{aligned}
f_{r}&=\frac{1}{T_{r}}\
D&=\frac{\tau}{T_{r}}\
P_{av}&=P_{t} \cdot D=P_{t}\frac{\tau}{T_{r}}
\end{aligned}

$$

2.2.4 频谱纯度

$\Delta B : 带宽$ΔB:带宽

$L(f_{m})=10\times\lg\frac{\Delta B带宽内的单边带功率}{信号功率 \times \Delta B}$L(fm​)=10×lg信号功率×ΔBΔB带宽内的单边带功率​

第 3 章 雷达接收机

3.2.1 噪声系数和灵敏度

$S_{i} : 输入信号功率$Si​:输入信号功率
$N_{i} : 输入噪声功率$Ni​:输入噪声功率
$S_{o} : 输出信号功率$So​:输出信号功率
$N_{o} : 输出噪声功率$No​:输出噪声功率
$F : 噪声系数$F:噪声系数

$F=\frac{S_{i}/N_{i}}{S_{o}/N_{o}}$F=So​/No​Si​/Ni​​

$k : 玻尔兹曼常数，(k \approx 1.38 \times 10^{-23})j/K$k:玻尔兹曼常数，(k≈1.38×10−23)j/K
$T_{o} : 热力学温度，T_{o}=290K(17^\circ C)$To​:热力学温度，To​=290K(17∘C)
$B_{n} : 系统噪声带宽$Bn​:系统噪声带宽
$M : 识别系数（临界灵敏度 \to M=1）$M:识别系数（临界灵敏度→M=1）

$S_{imin}=kT_{o}B_{n}FM$Simin​=kTo​Bn​FM

3.4.2 噪声系数和温度

(1) 噪声系数

$G_{a} : 接收机的额定功率增益$Ga​:接收机的额定功率增益
$\Delta N : 接收机内部噪声在输出端所呈现的额定噪声功率$ΔN:接收机内部噪声在输出端所呈现的额定噪声功率

$\begin{aligned} F&=\frac{N_{o}}{N_{i}G_{a}}\\ N_{o}&=N_{i}G_{a}+\Delta N=kT_{0}B_{n}G_{a}+\Delta N\\ F&=1+\frac{\Delta N}{kT_{0}B_{n}G_{a}}\\ &=\frac{1}{G_{a}} \qquad (无源或有源四端网络) \end{aligned}$FNo​F​=Ni​Ga​No​​=Ni​Ga​+ΔN=kT0​Bn​Ga​+ΔN=1+kT0​Bn​Ga​ΔN​=Ga​1​(无源或有源四端网络)​

(2) 等效噪声温度

$T_{A} : 天线噪声温度$TA​:天线噪声温度
$N_{A} : 接收机外部噪声的额定功率$NA​:接收机外部噪声的额定功率
$T_{e} : 等效噪声温度$Te​:等效噪声温度
$T_{s} : 系统噪声温度$Ts​:系统噪声温度

$\begin{aligned} N_{A}&=kT_{A}B_{n}\\ \Delta N&=kT_{e}B_{n}G_{a}\\ F&=1+\frac{T_{e}}{T_{0}}\\ T_{e}&=(F-1)T_{0}=(F-1) \times 290(K)\\ T_{s}&=T_{A}+T_{e} \end{aligned}$NA​ΔNFTe​Ts​​=kTA​Bn​=kTe​Bn​Ga​=1+T0​Te​​=(F−1)T0​=(F−1)×290(K)=TA​+Te​​

(3) 相对噪声温度——噪声比

$t_{c}=\frac{F_{c}kT_{0}B_{n}G_{c}}{kT_{0}B_{n}}=F_{c}G_{c}$tc​=kT0​Bn​Fc​kT0​Bn​Gc​​=Fc​Gc​

3.4.3 级联电路的噪声系数

$F_{0} : 接收机总噪声系数$F0​:接收机总噪声系数
$F_{n} : 第 n 级电路的噪声系数$Fn​:第n级电路的噪声系数
$G_{n} : 第 n 级电路的额定功率增益$Gn​:第n级电路的额定功率增益

$\begin{aligned} F_{0}&=F_{1}+\frac{F_{2}-1}{G_{1}}+\frac{F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}+ \cdots +\frac{F_{n}-1}{G_{1}G_{2} \cdots G_{n-1}}\\ F_{0}&=\frac{1}{G_{f}G_{g}G_{l}}\left(F_{R}+\frac{F_{c}-1}{G_{R}}+\frac{F_{l}-1}{G_{R}G_{c}}\right) \qquad (前三部分 \quad F=\frac{1}{G}) \end{aligned}$F0​F0​​=F1​+G1​F2​−1​+G1​G2​F3​−1​+⋯+G1​G2​⋯Gn−1​Fn​−1​=Gf​Gg​Gl​1​(FR​+GR​Fc​−1​+GR​Gc​Fl​−1​)(前三部分F=G1​)​

3.4.4 接收机灵敏度

$S_{imin} : 接收机灵敏度（最小可检测信号功率），M=1$Simin​:接收机灵敏度（最小可检测信号功率），M=1
$f_{r} : 重复频率$fr​:重复频率
$R : 最大的单值测距范围$R:最大的单值测距范围

$\begin{aligned} R&=\frac{c}{2f_{r}}\\ B&=\frac{最佳带宽脉宽积}{脉冲宽度}\\ S_{imin}(dBm)&=-114(dB)+10\lg B_{n}(MHz)+10\lg F \qquad (F:内外噪声系数) \end{aligned}$RBSimin​(dBm)​=2fr​c​=脉冲宽度最佳带宽脉宽积​=−114(dB)+10lgBn​(MHz)+10lgF(F:内外噪声系数)​

第 5 章 雷达作用距离

5.1 雷达方程

5.1.1 基本雷达方程

详情请看 1.1.2

5.1.2 目标雷达截面积（RCS）

$\sigma: 目标的雷达截面积$σ:目标的雷达截面积
$P_{2}: 目标散射的总功率$P2​:目标散射的总功率
$S_{1}: 照射的功率密度(目标处入射的功率密度)$S1​:照射的功率密度(目标处入射的功率密度)
$P_{\Delta}: 雷达接收点处单位立体角内的散射功率$PΔ​:雷达接收点处单位立体角内的散射功率

$\begin{aligned} P_{\Delta}&=\frac{P_{2}}{4\pi}=S_{1}\frac{\sigma}{4\pi}\\ \sigma&=\frac{P_{2}}{S_{1}}\\ &=4\pi\frac{p_{\Delta}}{S_{1}} \end{aligned}$PΔ​σ​=4πP2​​=S1​4πσ​=S1​P2​​=4πS1​pΔ​​​

5.2 最小可检测信号

5.2.1 最小可检测信噪比

$G_{a}: 接收机的功率增益(有效增益)$Ga​:接收机的功率增益(有效增益)
$F_{n}: 接收机的噪声系数$Fn​:接收机的噪声系数
$N: 接收机输出的噪声功率$N:接收机输出的噪声功率
$N_{0}: 噪声功率谱密度$N0​:噪声功率谱密度
$\tau: 波形宽度$τ:波形宽度
$E_{r}: 接收信号能量$Er​:接收信号能量
$D_{0}: 检测因子(最小输出信噪比)$D0​:检测因子(最小输出信噪比)

$\begin{aligned} G_{a}&=\frac{S_{0}}{S_{i}}\\ F_{n}&=\frac{N}{kT_{0}B_{n}G_{a}}\\ \frac{S}{N}&=\frac{S}{N_{0}B_{n}}=\frac{S\tau}{N_{0}}=\frac{E_{r}}{N_{0}}\qquad(简单脉冲 B_{n}\approx 1/\tau)\\ D_{0}&=\left(\frac{E_{r}}{N_{0}}\right)_{omin}=\left(\frac{S}{N}\right)_{0 min} \end{aligned}$Ga​Fn​NS​D0​​=Si​S0​​=kT0​Bn​Ga​N​=N0​Bn​S​=N0​Sτ​=N0​Er​​(简单脉冲Bn​≈1/τ)=(N0​Er​​)omin​=(NS​)0min​​

5.2.2 门限检测

$P_{d}: 发现概率,目标存在且判断有$Pd​:发现概率,目标存在且判断有
$P_{la}: 漏报概率,目标存在且判断无$Pla​:漏报概率,目标存在且判断无
$P_{an}: 正确不发现概率,目标不存在且判断无$Pan​:正确不发现概率,目标不存在且判断无
$P_{fa}: 虚警概率,目标不存在且判断有$Pfa​:虚警概率,目标不存在且判断有

$\begin{aligned} P_{d}+P_{la}&=1\\ P_{an}+P_{fa}&=1 \end{aligned}$Pd​+Pla​Pan​+Pfa​​=1=1​

5.2.3 检测性能和信噪比

(1) 虚警概率

$U_{T}: 门限电平$UT​:门限电平

$P_{fa}=\exp\left(-\frac{U_{T}^2}{2\sigma^2}\right)$Pfa​=exp(−2σ2UT2​​)

(2)发现概率

$I_{0}: 宗量 z 的 0 阶修正贝塞尔函数$I0​:宗量z的0阶修正贝塞尔函数

$P_{d}=\int_{U_{T}}^{\infty}\frac{r}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{r^2+A^2}{2\sigma^2}\right)I_{0}\left(\frac{rA}{\sigma^2}\right)dr$Pd​=∫UT​∞​σ2r​exp(−2σ2r2+A2​)I0​(σ2rA​)dr

$\begin{aligned} \frac{A}{\sigma}&=\left(\frac{2S}{N}\right)^{1/2}\\ \frac{U_{T}^2}{2\sigma^2}&=\ln\frac{1}{P_{fa}} \end{aligned}$σA​2σ2UT2​​​=(N2S​)1/2=lnPfa​1​​

5.4.5 目标起伏模型

施威林起伏模型(Swerling)

适合大量近似相等单元散射体组成情况
(1) 施威林 I 型,慢起伏,瑞利分布
(2) 施威林 II 型,快起伏,瑞利分布
$P(\sigma)=\frac{1}{\overline{\sigma}}\exp(-\frac{\sigma}{\overline{\sigma}})$P(σ)=σ1​exp(−σσ​)

适合较大反射体和许多小反射体合成
(3) 施威林 IIII 型,慢起伏
(4) 施威林 IV 型,慢起伏
$P(\sigma)=\frac{4\sigma}{\overline{\sigma}^2}\exp(-\frac{2\sigma}{\overline{\sigma}})$P(σ)=σ24σ​exp(−σ2σ​)

特别提示: 做题大部分看表和图(P202,P204,P205)

第 6 章 目标距离的测量

$R: 目标到雷达站的距离$R:目标到雷达站的距离
$c: 无线电速度(光速c=3\times10^8 m/s)$c:无线电速度(光速c=3×108m/s)
$t_{R}: 往返一次时间$tR​:往返一次时间

$\begin{aligned} t_{R}&=\frac{2R}{c}\\ R&=\frac{1}{2}ct_{R} \end{aligned}$tR​R​=c2R​=21​ctR​​

第 7 章 角度测量

7.2.1 相位测角

$\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta R=\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta$φ=λ2π​ΔR=λ2π​dsinθ

7.3.2 天线波束的扫描方法

(1)栅瓣条件

$\begin{aligned} \frac{d}{\lambda}&\lt \frac{1}{1+|\sin\theta_{0}|}\\ &\lt \frac{1}{2\sin\theta_{max}} \end{aligned}$λd​​<1+∣sinθ0​∣1​<2sinθmax​1​​

$\theta_{0.5}\approx \frac{0.886}{Nd}\lambda (rad)\approx\frac{50.8}{Nd}\lambda (^\circ)$θ0.5​≈Nd0.886​λ(rad)≈Nd50.8​λ(∘)

7.6 三坐标雷达

$V: 雷达待测空域立体角$V:雷达待测空域立体角
$\theta: 波速宽度立体角$θ:波速宽度立体角
$T_{r}: 雷达重复周期$Tr​:雷达重复周期
$f_{r}: 重复频率$fr​:重复频率
$N: 回波脉冲数$N:回波脉冲数
$D: 雷达的数据率$D:雷达的数据率

$\begin{aligned} T_{s}&=\frac{V}{\theta}NT_{r}=\frac{V}{\theta}\frac{N}{f_{r}}\\ t_{rmax}&=\frac{2R_{max}}{c}\\ D&=\frac{1}{T_{s}}=\frac{\theta}{V}\frac{1}{NT_{r}}=\frac{\theta f_{r}}{VN} \end{aligned}$Ts​trmax​D​=θV​NTr​=θV​fr​N​=c2Rmax​​=Ts​1​=Vθ​NTr​1​=VNθfr​​​

$S: 待测空域所截球面面积$S:待测空域所截球面面积
$R: 球半径$R:球半径
$波速宽度\theta_{\alpha},\theta_{\beta}不相等\Longrightarrow \theta=\theta_{\alpha}\theta_{\beta}/2$波速宽度θα​,θβ​不相等⟹θ=θα​θβ​/2
$待测空域的方位范围\alpha_{1}\sim\alpha_{2},仰角范围\beta_{1}\sim\beta_{2}$待测空域的方位范围α1​∼α2​,仰角范围β1​∼β2​

$\begin{aligned} V&=\frac{S}{R^2}=\frac{1}{R^2}\iint dS\\ &=\frac{1}{R^2}\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{2}}\int_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}R^2\cos\beta d\alpha d\beta\\ &=(\alpha_{2}-\alpha_{1})(\sin\beta_{2}-\sin\beta_{1}) \qquad(rad) \end{aligned}$V​=R2S​=R21​∬dS=R21​∫α1​α2​​∫β1​β2​​R2cosβdαdβ=(α2​−α1​)(sinβ2​−sinβ1​)(rad)​

结语：很杂