通信原理（第七版）常见公式

通信原理（第七版）知识点复习
（1）《通信原理》期末总结——Sunnycee’s Blog
https://sunnycee.cn/archives/2e834616.html
（2）通信原理复习——Pang-Blog
https://pangyuworld.github.io/2019/12/19/%E9%80%9A%E4%BF%A1%E5%8E%9F%E7%90%86%E5%A4%8D%E4%B9%A0/

常用公式总结

第 1 章绪论

1.4 信息及其度量

1.4.1 离散信源

$I : 消息中所含信息量，(b)$
$M : 进制$
$P(x) : 消息出现的概率$
$H(x) : 平均信息量（熵），(b/符号)$

$I=\log_{a}\frac{1}{P(x)}=-\log_{a}P(x)\quad(b)$

$(1) 等概率$
$I=\log_{2}\frac{1}{P}=\log_2\frac{1}{1/M}=\log_{2}M\quad(b)$

$(2) 非等概率$
$H(x)=-\sum_{i=1}^{M}P(x_i)\log_{2}{P(x_i)}\quad(b/符号)$

1.4.2 连续信源

$f(x) : 连续消息出现的概率密度$

$H(x)=-\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\log_{a}f(x)dx\quad(b/符号)$

1.5 通信原理主要性能指标

1.5.1 有效性

$M : 进制$
$B : 频带带宽，(Hz)$
$\eta : 频带利用率，(Baud/Hz)$
$\eta_b : M 进制频带利用率，(b/(s\cdot{Hz})$
$R_{B} : 单位时间传输码元的数目，码元传输速率，波特率，(Baud)$
$R_{b} : 单位时间传输平均信息量，信息传输速率，比特率，(b/s)$
$T_{B} : 每个码元的长度，(s)$
$T_{b} : 每个二进制码元的持续时间，(s)$

$\eta=\frac{R_{B}}{B}\quad(Baud/Hz)$

$\eta_b=\frac{R_{b}}{B}\quad(b/(s\cdot{Hz}))$

$R_{B}=\frac{1}{T_{B}}\quad(Baud)$

$R_{b}=R_{B}{\log_{2}{M}}\quad(b/s)$

$T_{B}=T_{b}\cdot{\log_{2}{M}}$

1.5.2 可靠性

$P_{e} : 误码率$
$P_{b} : 误信率$

$P_{e}=\frac{错误码元数}{传输总码元数}$

$P_{b}=\frac{错误比特数}{传输总比特数}$

第 4 章信道

4.1 无线信道

	频率	特性	距离	用途
地波	<2MHz	有绕射能力	数百或数千米	AM广播
天波	2~30MHz	被电离层反射	< 4000 km（一跳）	远程、短波通信
视线	>30MHz	直线传播、穿透电离层	与天线高度有关	卫星和外太空通信超短波及微波通信

$h : 收发天线的高度，(m)$
$r : 地球的等效半径，(km)$
$D : 收发天线的距离，(km)$

$h=\frac{D^2}{8r}\approx\frac{D^2}{50}\quad(m)$

4.2 编码信道模型

$P(x/y) : 发送 y 接收 x 的概率$

4.4 信道特性对信号传输的影响

$\tau_{m} : 多径中最大的相对时延差，(s)$
$\Delta{f} : 信道相关带宽，(Hz)$
$B_{s} : 信号带宽，(Hz)$

$\Delta{f}=\frac{1}{\tau_{m}}\quad(Hz)$

$R_{B}=B_{s}=(1/3 \sim 1/5)\Delta{f}\quad(Hz)$

4.6 信道容量

4.6.1 离散信道容量

$C : 每个符号能够传输的平均信息量的最大值，(b/符号)$
$C_{t} : 单位时间内能传输的平均信息量最大值，(b/s)$
$P(x_i) : 接收端接收x_i（包括正确和错误）$
$P(x_i/y_j) : 发送端发送y_j，接收端接收x_i$
$r : 单位时间内信道传输的符号数，(符号/s)$
$R : 信道每秒传输的平均信息量，(b/s)$

$\begin{aligned} 平均信息量/符号&=-\sum_{i=1}^{n}P(x_i)\log_{2}P(x_i)-\left[-\sum_{j=1}^{m}P(y_j)\sum_{i=1}^{n}P(x_i/y_j)\log_{2}P(x_i/y_j)\right]\\ &=H(x)-H(x/y) \end{aligned}$

$\begin{aligned} C&=\max_{P(x)}\left[H(x)-H(x/y)\right]\\ R&=r\left[H(x)-H(x/y)\right]\\ C_{t}&=\max_{P(x)}\{r\left[H(x)-H(x/y)\right]\} \end{aligned}$

4.6.2 连续信道容量

$B : 频带带宽，(Hz)$
$S : 信号平均功率，(W)$
$N : 噪声功率，(W)$
$n_{0} : 噪声单边功率谱密度，(W/Hz)$

$C_{t}=B\log_{2}\left(1+\frac{S}{N}\right)\quad(b/s)$

$C_{t}=B\log_{2}\left(1+\frac{S}{n_{0}B}\right)\quad(b/s)$

$\lim_{B\to\infin}C_{t}\approx{1.44\frac{S}{n_0}}$

第 5 章模拟调制系统

5.1 幅度调制（线性调制）原理

$A : 载波振幅$
$\omega : 载波角频率$
$\varphi_{0} : 载波初始相位$

$\begin{aligned} c(t)&=A\cos(\omega_{c}t+\varphi)\\ c(t)&=A\cos(\omega_{c}t)\qquad(\varphi_{0}=0) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \cos^2\theta&=\frac{1}{2}(1+\cos2\theta)\\ \sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$

5.1.1 调幅调制 AM（Amplitude Modulation）

$\begin{aligned} S_{AM}(t)&=\left[A_{0}+m(t)\cos\omega_{c}t\right]\\ &=A_{0}\cos\omega_{c}t+m(t)\cos\omega_{c}t \end{aligned}$

$S_{AM}(\omega)=\pi A_{0}\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]+\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right]$

$\left|m(t)\right|_{max} \leq A_0\qquad(防止过调幅)$

$f_{H} : 基带信号带宽，(Hz)$
$B_{AM} : AM调制信号带宽，(Hz)$
$P_{AM} : AM信号在 1\Omega 电阻上的平均功率$
$P_{c} : 载波功率$
$P_{s} : 边带功率$
$m : 调幅系数$
$\eta_{AM} : 调制效率$

$\begin{aligned} P_{AM}&=\overline{s_{AM}^2(t)}=\overline{[A_0+m(t)]^2\cos^2\omega_{c}t}\\ &=\overline{A_0^2\cos^2\omega_{c}t}+\overline{m^2(t)\cos^2\omega_{c}t}+\overline{2A_0m(t)\cos^2\omega_{c}t}\\ &=\frac{A_0^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)}}{2}\qquad(\overline{m(t)}=0)\\ &=P_c+P_s \end{aligned}$

$\begin{aligned} P_c&=\frac{A_0^2}{2}\\ P_s&=\frac{\overline{m^2(t)}}{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \eta_{AM}&=\frac{P_s}{P_{AM}}=\frac{\overline{m^2(t)}}{A_0^2+\overline{m^2(t)}}\\ &=\frac{1}{2}\qquad(|m(t)|_{max} \leq A_0)\\ &=\frac{1}{3}\qquad(单音正弦: m(t)=A_m\cos\omega_{m}t) \end{aligned}$

$m=\frac{|m(t)|_{max}}{A_{0}}$

$B_{AM}=2f_H$

5.1.2 抑制载波双边带调制 DSB-SC（Double-Side-Band Suppressed Carrier）

$S_{DSB}(t)=m(t)\cos\omega_{c}t\qquad(抑制载波)$

$S_{DSB}(\omega)=\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right]$

$B_{DSB}=B_{AM}=2f_H$

$\eta=100\%$

5.1.3 单边带调制 SSB（Single-Side-Band）

(1) 滤波法
$H(\omega) : 传输函数$

$\begin{aligned} H(\omega)&=H_{USB}(\omega)= \left\{ \begin{aligned} 1 \qquad |\omega|>\omega_{c} \\ 0 \qquad |\omega|\leq\omega_{c} \end{aligned} \right.\\ H(\omega)&=H_{LSB}(\omega)= \left\{ \begin{aligned} 1 \qquad |\omega|<\omega_{c} \\ 0 \qquad |\omega|\geq\omega_{c} \end{aligned} \right.\\ S_{SSB}&=S_{DSB}(\omega) \cdot H(\omega) \end{aligned}$

(2) 相移法

$\begin{aligned} m(t)&=A_{m}\cos\omega_{m}t\\ c(t)&=\cos\omega_{c}t\\ A_{m}\sin\omega_{m}t&=A_{m}\hat{\cos}\omega_{m}t \qquad(希尔伯特变换)\\ S_{SSB}&=m(t) \cdot c(t)\\ &=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_{c}t \mp \frac{1}{2}\hat{m(t)}\sin\omega_{c}t \end{aligned}$

$B_{SSB}=\frac{B_{DSB}}{2}=f_H$

5.1.4 残留单边带调制 VSB（Vestigial-Side-Band）

$\omega_{H} : 调制信号截止频率$

$H(\omega+\omega_{c})+H(\omega-\omega_{c})=常数 \qquad |\omega| \leq \omega_{H}$

5.2 线性调制系统的抗噪性能

通信原理（第七版）常见公式

$n_{i}(t) : 平稳窄带高斯噪声$
$n_{c}(t) : 窄带噪声同向分量$
$n_{s}(t) : 窄带噪声正交分量$
$S_{i} : 输入已调信号的平均功率$
$N_{i} : 输入噪声的平均功率$
$S_{o} : 输出有用信号的平均功率$
$N_{o} : 输入噪声的平均功率$
$G : 调制制度增益（信噪比增益）$

$\begin{aligned} n_{i}(t)&=n_{c}\cos\omega_{0}t-n_{s}\sin\omega_{0}t\\ \overline{n_{i}^{2}(t)}&=\overline{n_{c}^{2}(t)}=\overline{n_{s}^{2}(t)}=N_{i}\\ N_{i}&=n_{o}B \qquad(单边谱密度n_{o}，带通滤波器高度1，带宽B) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{S_{i}}{N_{i}}&=\frac{\overline{s_{m}^{2}(t)}}{\overline{n_{i}^{2}(t)}}\\ \frac{S_{o}}{N_{o}}&=\frac{\overline{m_{o}^{2}(t)}}{\overline{n_{o}^{2}(t)}}\\ G&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}} \end{aligned}$

重要三角变换公式
$\begin{aligned} \cos^2\theta&=\frac{1}{2}(1+\cos2\theta)\\ \sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$

5.2.2 DSB调制系统性能（抑制正交分量）

通信原理（第七版）常见公式

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=m(t)\cos\omega_{c}t\\ m_{o}(t)&=s_{m}(t)\cos\omega_{c}t=m(t)\cos\omega_{c}t\cos\omega_{c}t\\ n_{o}(t)&=n_{i}\cos\omega_{c}t \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{i}&=\overline{s_{m}^2(t)}=\frac{1}{2}\overline{m^2(t)}\\ N_{i}&=\overline{n_{i}^2}=n_{0}B\\ S_{o}&=\overline{m_{o}^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}\\ N_{o}&=\overline{n_{o}^2}=\frac{1}{4}N_{i}\\ G_{DSB}&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}=2 \end{aligned}$

5.2.3 SSB调制系统性能（抑制正交分量）

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_{c}t \mp \frac{1}{2}\hat{m(t)}\sin\omega_{c}t\\ m_{o}(t)&=s_{m}(t)\cos\omega_{c}t\\ n_{o}(t)&=n_{i}\cos\omega_{c}t \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{i}&=\overline{s_{m}^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}\\ N_{i}&=\overline{n_{i}^2}=n_{0}B\\ S_{o}&=\overline{m_{o}^2(t)}=\frac{1}{16}\overline{m^2(t)}\\ N_{o}&=\overline{n_{o}^2}=\frac{1}{4}N_{i}\\ G_{SSB}&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}=1 \end{aligned}$

5.2.4 AM 包络波的性能

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=\left[A_{0}+m(t)\right]\cos\omega_{c}t\\ S_{i}&=\overline{s_{m}^2(t)}=\frac{A_{0}^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)}}{2}\\ N_{i}&=\overline{n_{i}^2}=n_{0}B \end{aligned}$

$\begin{aligned} s_{m}(t)+n_{i}(t)&=E(t)\cos\left[\omega_{c}t+\psi(t)\right]\\ E(t)&=\sqrt{\left[A_{0}+m(t)+n_{c}(t)\right]^2+n_{s}^2(t)}\\ \psi&=\arctan\left[\frac{n_{s}(t)}{A_{0}+m(t)+n_{c}(t)}\right] \end{aligned}$

(1) 大信噪比情况

$\begin{aligned} S_{o}&=\overline{m^2(t)}\\ N_{o}&=\overline{n_{c}^{2}(t)}=\overline{n_{i}^{2}(t)}=n_{0}B\\ G_{AM}&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}=\frac{2\overline{m^2(t)}}{A_0^2+\overline{m^2(t)}}\\ &=\frac{2}{3}\qquad(单频正弦) \end{aligned}$

(2) 小信噪比情况（门限效应）

5.3 非线性调制（角度调制）原理

$PM : 相位调制$
$FM : 频率调制$
$\varphi(t) : 相对于载波相位\omega_{c}(t)的瞬时相位偏移$

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=A\cos[\omega_{c}t+\varphi(t)]\\ \varphi(t)&=K_{p}m(t)\\ s_{PM}(t)&=A\cos[\omega_{c}t+K_{p}m(t)]\\ \frac{d\varphi(t)}{dt}&=K_{f}m(t)\\ s_{FM}(t)&=A\cos[\omega_{c}t+K_{f}\int{m(\tau)d\tau}] \end{aligned}$

$m_{p} : 调相指数，最大的相位偏移$
$m_{f} : 调频指数，最大的相位偏移$
$\Delta\omega : 最大角频偏$
$\Delta f : 最大频偏$

$\begin{aligned} m_t&=A_{m}\cos\omega_{m}t=A_{m}\cos2\pi f_{m}t\\ s_{PM}t&=A\cos[\omega_{c}t+K_{p}A_{m}\cos\omega_{m}t]\\ &=A\cos[\omega_{c}t+m_{p}\cos\omega_{m}t]\\ m_{p}&=K_{p}A_{m}\\ s_{FM}t&=A\cos\left[\omega_{c}t+K_{f}A_{m}\int{\cos\omega_{m}\tau d\tau}\right]\\ &=A\cos[\omega_{c}t+m_{f}\sin\omega_{m}t]\\ m_{f}&=\frac{K_{f}A_{m}}{\omega_{m}}=\frac{\Delta\omega}{\omega_{m}}=\frac{\Delta f}{f_{m}} \end{aligned}$

5.3.2 窄带调频/宽带调频

(1) 基本信息

$\left\{ \begin{aligned} &K_{f}\int{m(\tau)d\tau} \ll \frac{\pi}{6} \quad or \quad 0.5 \qquad &(NBFM)\\ &不满足上述条件 &(WBFM) \end{aligned} \right.$

$\begin{aligned} B_{FM}&=2(m_{f}+1)f_{m}=2(\Delta f+f_{m})\\ &\approx 2f_{m} \qquad (m_{f} \ll 1 \quad NBFM)\\ &\approx 2\Delta f \qquad (m_{f} \gg 1 \quad WBFM) \end{aligned}$

(2) 阿姆斯特朗法
通信原理（第七版）常见公式
$\begin{aligned} f_{c}&=n_{2}(n_{1}f_{1}-f_{2})\\ \Delta f&=n_{1}n_{2}\Delta f_{1} \end{aligned}$

5.4 调频系统抗噪性能分析

$G_{FM}=\frac{3}{2}m_{f}^2\left(\frac{B_{FM}}{f_{m}}\right)$

5.5 各种模拟调制的比较

调制方式	传输带宽	输出信噪比	制度增益	设备复杂程度
AM	$2f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{AM}=\frac{1}{3}\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	2/3	简单
DSB	$2f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{DSB}=\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	2	中等
SSB	$f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{SSB}=\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	1	复杂
VSB	$>\approx f_{m}$	$\approx SSB$	$\approx SSB$	复杂
FM	$2(m_{f}+1)f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{FM}=\frac{3}{2}m_{f}^2\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	$3m_{f}^2(m_{f}+1)$	中等

第 6 章数字基带传输系统

6.1.1 数字基带信号

(a) 单极性波形
$1 \to +E$
$0 \to 0$

(b) 双极性波形
$1 \to +E$
$0 \to -E$

(d) 双极性归零波形（RZ）
$1 \to +E$ （提前归零，占空比一般 50%）
$0 \to -E$ （提前归零，占空比一般 50%）

(e) 差分波形
有跳表示“1”，无跳表示“0”

(f) 多电平波形
通信原理（第七版）常见公式

6.2.2 常用传输码型

(1) AMI 码
$0 \to 0$
$1 \to -1/+1（交替出现，一般从-1开始）$

(2) $HDB_{3} 码$
$0 \to 0$
$1 \to -1/+1（交替出现，一般从-1开始）$
$[1]满足前一个相邻的非“0”脉冲极性相同，且满足前一个相邻的“V”码极性交替：0000 \to 000\mp V（相邻“V”码之间有奇数个1）$
$[2]否则：0000 \to \mp B00\mp V（相邻“V”码之间有偶数个1）$

(3) 双相码（双极性NRZ波形）
$1 \to 10$
$0 \to 01$

(4) 差分双相码
有跳表示“1”，无跳表示“0”

(5) CMI 码
$1 \to 11/00（交替出现）$
$0 \to 01$

(6) 块编码

6.3 数字基带传输与码间串扰

$G_{T}(\omega) : 发送滤波器的传输特性$
$C(\omega) : 信道的传输特性$
$G_{R}(\omega) : 接受滤波器的传输特性$
$H(\omega) : 基带传输系统的总传输特性$

$H(\omega)=G_{T}(\omega)C(\omega)G_{R}(\omega)$

6.4 无码间串扰的基带传输特性

6.4.3 无码间串扰传输特性设计

(1) 理想低通特性
实现抽样时，仅仅只有基带系统有值，而其他系统刚好处于零点，实现无码间串扰

$f_{N} : 奈奎斯特带宽$

$\begin{aligned} f_{N}&=B=\frac{1}{2T_{B}} \qquad (Hz)\\ R_{B}&=\frac{1}{T_{B}}=2f_{N} \qquad (Baud)\\ \eta&=\frac{R_{B}}{B}=2 \qquad (Baud/Hz) \end{aligned}$

(2) 余弦滚降特性
理想低通特性以奈奎斯特带宽 $f_{N}$ 为中心，按奇对称条件进行余弦滚降

$\alpha : 余弦滚降系数$

$\begin{aligned} \alpha&=\frac{f_{\Delta}}{f_{N}}\\ R_{B}&=2f_{N}\\ B&=f_{\Delta}+f_{N}=(1+\alpha)f_{N}\\ \eta&=\frac{R_{B}}{B}=\frac{2}{1+\alpha} \qquad (Baun/Hz) \end{aligned}$

第 7 章数字带通传输系统

7.1 二进制数字调制原理

通信原理（第七版）常见公式

7.1.1 二进制振幅键控（2ASK）

$e_{2ASK}=\left\{ \begin{aligned} &A\cos\omega_{c}t \qquad &1 \quad &(P)\\ &0 \qquad &0 \quad &(1-P) \end{aligned} \right.$

7.1.2 二进制频移键控（2FSK）

$e_{2FSK}=\left\{ \begin{aligned} &A\cos(\omega_{1}t+\varphi_{n}) \qquad &1\\ &A\cos(\omega_{2}t+\theta_{n}) \qquad &0 \end{aligned} \right.$

7.1.3 二进制相移键控（2PSK）

$e_{2PSK}=\left\{ \begin{aligned} &A\cos\omega_{c}t \qquad &1\\ &-A\cos\omega_{c}t \qquad &0 \end{aligned} \right.$

7.1.4 二进制差分相移键控（2DPSK）
计算出相对码，推算得到相位差，后面图形在前面图形移动对应相位

$a_{n} : 绝对码$
$b_{n} : 相对码$

$b_{n}=a_{n} \bigoplus b_{n-1}$

$\begin{aligned} e_{2DPSK}&=A\cos(\omega_{c}t+\Delta\varphi)\\ \Delta\varphi&=\left\{ \begin{aligned} &\pi \qquad &1\\ &0 \qquad &0 \end{aligned} \right. \end{aligned}$

7.3 二进制数字调制系统的性能比较

7.3.1 误码率

	相干解调	非相干解调
2ASK	$\frac{1}{2}erfc\left(\sqrt{\frac{r}{4}}\right)$	$\frac{1}{2}e^{-r/4}$
2FSK	$\frac{1}{2}erfc\left(\sqrt{\frac{r}{2}}\right)$	$\frac{1}{2}e^{-r/2}$
2PSK	$\frac{1}{2}erfc\left(\sqrt{r}\right)$
2DPSK	$erfc\left(\sqrt{r}\right)$	$\frac{1}{2}e^{-r}$

7.3.2 带宽与频带利用率

$当信号带宽为T_{B}$

	$带宽B$
2ASK	$2R_{B}=\frac{2}{T_{B}}$
2FSK	$\mid f_{2}-f_{1} \mid+2R_{B}$
2PSK	$2R_{B}=\frac{2}{T_{B}}$
2DPSK	$2R_{B}=\frac{2}{T_{B}}$

常用公式总结

第 1 章 绪论

1.4 信息及其度量

1.5 通信原理主要性能指标

第 4 章 信道

4.1 无线信道

4.2 编码信道模型

4.4 信道特性对信号传输的影响

4.6 信道容量

第 5 章 模拟调制系统

5.1 幅度调制（线性调制）原理

5.2 线性调制系统的抗噪性能

5.3 非线性调制（角度调制）原理

5.4 调频系统抗噪性能分析

5.5 各种模拟调制的比较

第 6 章 数字基带传输系统

6.3 数字基带传输与码间串扰

6.4 无码间串扰的基带传输特性

第 7 章 数字带通传输系统

7.1 二进制数字调制原理

7.3 二进制数字调制系统的性能比较

第 1 章绪论

第 4 章信道

第 5 章模拟调制系统

第 6 章数字基带传输系统

第 7 章数字带通传输系统