图像变换与平面坐标系的关系

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坐标旋转变换公式（围绕原点）

 

如图， 在二维坐标上，有一点, 直线  的长度为r, 直线   和  轴的正向的夹角为。 直线   围绕原点做逆时针方向 度的旋转，到达。

那么有：

   (1.1)
   (1.2)

其中
代入(1.1), (1.2) ,

用行列式表达如下：

综上：

将图形围绕原点逆时针方向旋转  角，用解析式表示为：

写成矩阵乘法形式：

 

平移

写成矩阵乘法形式：

但是现在遇到困难了，平移无法写成和上面旋转一样的矩阵乘法形式。

所以引入齐次坐标  ，再写成矩阵形式：

其中,

表示单位矩阵，而表示平移向量。

那么就可以把把旋转和平移统一写在一个矩阵乘法公式中，即刚体变换：

而旋转矩阵 是正交矩阵.

 

• 仿射变换

其中可以是任意2x2矩阵（与  一定是正交矩阵不同）。

可以看到，相比刚体变换（旋转和平移），仿射变换除了改变目标位置，还改变目标的形状，但是会保持物体的“平直性”。

不同  和  矩阵对应的各种基本仿射变换：

 

• 投影变换（单应性变换）

 

 

 简单说，投影变换彻底改变目标的形状。

总结一下：

1. 刚体变换：平移+旋转，只改变物体位置，不改变物体形状
2. 仿射变换：改变物体位置和形状，但是保持“平直性”
3. 投影变换：彻底改变物体位置和形状

我们来看看完整投影变换矩阵各个参数的物理含义：

 代表仿射变换参数，代表平移变换参数。表示一种“变换后边缘交点“关系，如：

至于  则是一个与 相关的缩放因子。

一般情况下都会通过归一化使得 

 

平面坐标系与齐次坐标系

问题来了，齐次坐标到底是什么？

齐次坐标系  与常见的三维空间坐标系  不同，只有两个自由度：

而  （其中   ）对应坐标 和 的缩放尺度。当  时：

特别的当 时，对应无穷远：

 

三 单应性变换

• 单应性是什么？

此处不经证明的给出：同一个 [无镜头畸变] 的相机从不同位置拍摄 [同一平面物体] 的图像之间存在单应性，可以用 [投影变换] 表示 。