离散数学及其应用 第三章：命题逻辑

命题逻辑

• 命题
• 原子命题
• 复合命题
• 命题联结词
• 联结词的难点
• 需要注意以下几点：
• 命题公式
• 命题公式的分类
• 基本等价关系
• 联结词的完备集
• 公式的标准型---范式
• 析取范式和合取范式
• 极大项和极小项
• 极大项与极小项的编码
• 写主析取范式

命题

具有确切真值的陈述句称为命题

原子命题

不能再分解为更简单命题的命题

复合命题

可以分解为更简单命题的命题

命题联结词

联结词	记号
否定	$\neg$¬
合取	$\land$∧
析取	$\lor$∨
蕴含	$\to$→
等价	$\leftrightarrow$↔

注意这里的顺序也就是联结词的优先级哦，依次是：否定、合取、析取、蕴含、等价

联结词的难点

联结词别的都还好，主要是蕴含联结词（$\to$→），超级容易出错，下面举几个例子

1. 如果周末天气晴朗，那么学院将组织我们到石像湖春游
   如果A那么B，写成联结词的形式就是A$\to$→B，表示条件成立，则一定要做什么，如果条件不成立，则可做可不做，从蕴含联结词的真值表可以看出。
2. 只有明天不是雨夹雪，我才去学校
   只有A才B，这种不能写成A$\to$→B，因为我们可以这么想，我只要去了学校，那么明天肯定不是雨夹雪，如果是A$\to$→B的形式，那B成立，A可以成立，可以不成立，显然这是不正确的。应写为B$\to$→A
3. 除非你陪伴我或代我叫车，否则我将出不去
   除非···否则不···，表示如果前件不发生，我一定不做什么；或者说如果我做了什么，前件一定发生，其实和只有才一样，是B$\to$→A的形式

需要注意以下几点：

1. 联结词“$\neg$¬”是自然语言中的“非”“不”和“没有”等的逻辑抽象
2. 联结词“$\land$∧”是自然语言的“并且”“既···又···”“但“”和”等概念抽象
3. 可兼或（$\lor$∨）不可兼或（$\bar{\lor}$∨ˉ），后者是$\neg(A\leftrightarrow B)$¬(A↔B)的简写

命题公式

生成规则：

1. 命题变元本身是一个公式
2. 如果$G$G是公式，则（$\neg G$¬G）也是公式
3. 如果$G,H$G,H是公式，则（$G\land H$G∧H），（$G\lor H$G∨H），（$G\to H$G→H），（$G\leftrightarrow H$G↔H）也是公式
4. 仅通过有限步地使用规则1,2,3所得到的符号串才是命题公式

命题公式的分类

1. 永真公式（重言式）
2. 永假公式（矛盾式）
3. 可满足式

基本等价关系

联结词的完备集

需要新学习几个联结词：与非$\uparrow$↑、或非$\downarrow$↓从字面意思就可以理解是A和B先进行与或者是或运算再取否定

1. 对于任一个命题公式,都有S中的联结词所表示出来的命题公式与之等价,则称S是完备的联结词集合,或者说S是联结词的完备集
2. 对于一个完备的联结词集合S,从S中任意删去一种联结词后,得到一个新的联结词集合$S_1$S1​,至少有一个公式不等价于仅包含$S_1$S1​中联结词所表示的任一公式,则称S为最小完备的联结词集合

公式的标准型—范式

析取范式和合取范式

1. 命题变元或命题变元的否定称为文字
2. 有限个文字的析取称为析取式,也称为子句
3. 有限个文字的合取称为合取式,也称为短语
4. 有限个短语的析取式称为析取范式
5. 有限个子句的合取式称为合取范式

极大项和极小项

每个命题变元和它的否定不同时存在,但二者之一恰好出现,并且只出现一次,这样的短语称为极小项,这样的子句称为极大项.

极大项与极小项的编码

使极小项真值为1的那组真值指定为极小项的编码,命题变元与1对应,命题变元的否定与0对应
使极大项真值为0的那组真值指定为极大项的编码,命题变元与0对应,命题变元的否定与1对应
任意两个不同的极小项的合取必为0,任意两个不同的极大项的析取必为1.

写主析取范式

若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所规定的命题变元,如缺少$P$P,则可用公式:
$(\neg P\lor P)\land Q=Q$(¬P∨P)∧Q=Q
若合取范式的某一个短句中缺少该命题公式中所规定的命题变元,如缺少$P$P,则可用公式:
$(\neg P\land P)\lor Q=Q$(¬P∧P)∨Q=Q
利用真值表技术求主析取范式时,找真值为1的,求主合取范式时,找真值为0的.