离散时间周期信号傅里叶级数

离散复指数信号的重复性

由于 $e^{j(w_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{jw_0n}=e^{jw_0n}$ ，所以具有频率 $w_0$ 和 $w_0\pm2\pi, w_0\pm4\pi,...w_0\pm2k\pi$ 的复指数信号完全一致

离散复指数信号的周期性

由于离散信号仅在整数点有值，要使 $e^{jw_0n}$ 为周期信号，周期 $N$ 必须为波形周期的整数倍，即 $N=m\frac{2\pi}{w_0}, m=1,2,...$ ，此时的基波频率 $w = \frac{w_0}{m}，w_0=\frac mN 2\pi$

离散复指数信号的谐波

考虑一组成谐波关系的周期离散信号，其公共周期为 $N$ ，基波频率为 $\frac{2\pi}{N}$
$\phi_k[n] = e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, k=0, \pm1, ...$
考虑离散复指数信号的重复性，
$\phi_{k+N}[n] = e^{j(k+N)\frac{2\pi}{N}n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}e^{j2\pi n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}=\phi_k[n]$

离散周期信号傅里叶级数

考虑一个周期为 $N$ 的离散周期信号，用谐波的线性组合来表示
$x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}$
两边各乘 $e^{-jr\frac{2\pi}{N}n}$ ，在周期内求和得到：
$\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jr\frac{2\pi}{N}n} = \sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}e^{-jr\frac{2\pi}{N}n} = \sum_{k=<N>}a_k\sum_{n=<N>}e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}$
由于 $e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=\left\{ \begin{aligned} N && r = k, k\pm N, k\pm 2N,...\\ 0 && other\\ \end{aligned} \right.$
$a_k = a_{k\pm N} = ... = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$

${\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} \qquad a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}$

numpy.fft

可以使用numpy.fft求傅里叶级数，但是要注意求和周期是从0开始，并且没有 $\frac 1N$ 系数。在求傅里叶级数时，仅需要输入一个周期的信号。
$a_k = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}, k = 0, 1, ..., n-1$

例1：求信号 $x[n]=cos(w_0n)$ 的傅里叶级数
仅当 $\frac{2\pi}{w_0}=\frac Nm$ 为一有理数时，信号才是周期信号。
$x[n] = \frac 12 (e^{j\frac{2\pi m}{N}n} + e^{-j\frac{2\pi m}{N}n})$ ，所以 $a_m = a_{-m} = \frac 12$
使用numpy.fft求解：
例2：求周期为N的方波信号的傅里叶级数
在一个周期内， $-N1 \leq n \leq N1$ 内， $x[n]=1$
求得一个周期内的系数：
$a_0 = \frac{2N1+1}{N}$
$a_k = \frac 1N \frac{sin[2\pi k(N1+\frac 12)/N]}{sin(\pi k/N)}$

使用numpy.fft求解：
若定义 $0\leq n < 2N1 + 1$ 时， $x[n]=1$ ，此时相当于上面输入右移了3，可以使用傅里叶级数的时移性质来还原：
$x[n - n_0] => a_ke^{-jk\frac{2\pi}{N}n_0}$