轴对齐边界框和三角形的分离轴测试会产生不正确的结果 (3D)

Question

我正在做三角形到 AABB 相交测试，我正在从 Christer Ericson 的 Real-Time Collision Detection 中获取这个示例代码。作者在给出示例之前在书中所说的内容与示例不同，所以我不确定如何测试剩余的轴.. a01-a22。

测试：九个轴由两者的边组合的叉积给出。

// Test axes a00..a22 ( category 3 )
// Test axis a00
originDistance0 = triangle.point0.z * triangle.point1.y 
        - triangle.point0.y * triangle.point1.z;
originDistance2 = triangle.point1.z *( triangle.point1.y - triangle.point0.y ) 
        - triangle.point1.z * ( triangle.point1.z - triangle.point0.z );
projectionRadius = extent1 * Math.abs( edge0.z ) + extent2 * Math.abs( edge0.y );
if ( Math.max( -Math.max( originDistance0, originDistance2 ), Math.min( originDistance0, originDistance2 ) ) > projectionRadius ) {
    return false; // Axis is a separating axis
}

// Repeat similar tests for remaining axes a01..a22

所以这是对第一个轴的测试。根据这本书，这些是轴：

a00 = u0 × f0 = (1, 0, 0) × f0 = (0, -f0z, f0y)

a01 = u0 × f1 = (1, 0, 0) × f1 = (0, -f1z, f1y)

a02 = u0 × f2 = (1, 0, 0) × f2 = (0, -f2z, f2y)

a10 = u1 × f0 = (0, 1, 0) × f0 = (f0z, 0, -f0x)

a11 = u1 × f1 = (0, 1, 0) × f1 = (f1z, 0, -f1x)

a12 = u1 × f2 = (0, 1, 0) × f2 = (f2z, 0, -f2x)

a20 = u2 × f0 = (0, 0, 1) × f0 = (-f0y, f0x, 0)

a21 = u2 × f1 = (0, 0, 1) × f1 = (-f1y, f1x, 0)

a22 = u2 × f2 = (0, 0, 1) × f2 = (-f2y, f2x, 0)

============

p0 = V0·a00

p1 = V1·a00 = V1 = p0

p2 = V2·a00 = V2

LEGEND：u = 中心向量，f = 三角形边向量。 p = 从原点到三角形顶点投影到法线的距离。 V = 三角点。

如何计算后续坐标轴测试？也许如果有人可以做一个，我可以更好地了解其余部分，但只有一个例子，我被困住了......谢谢！

编辑：我尝试了以下.. 对于 a00-a22 没有运气，测试仍然通过。 首先我添加了这段代码，并替换了a00，并添加了a01-a22。

// Test axes a00..a22 ( category 3 )
Vector3d a00 = new Vector3d();
Vector3d a01 = new Vector3d();
Vector3d a02 = new Vector3d();
Vector3d a10 = new Vector3d();
Vector3d a11 = new Vector3d();
Vector3d a12 = new Vector3d();
Vector3d a20 = new Vector3d();
Vector3d a21 = new Vector3d();
Vector3d a22 = new Vector3d();
a00.cross( u0, edge0 );
a01.cross( u0, edge1 );
a02.cross( u0, edge2 );
a10.cross( u1, edge0 );
a11.cross( u1, edge1 );
a12.cross( u1, edge2 );
a20.cross( u2, edge0 );
a21.cross( u2, edge1 );
a22.cross( u2, edge2 );


// Test axes a00-a22
originDistance0 = triangle.point0.dot( a00 );
originDistance2 = triangle.point2.dot( a00 );
projectionRadius = extent1 * Math.abs( edge0.z ) + extent2 * Math.abs( edge0.y );
if ( Math.max( -Math.max( originDistance0, originDistance2 ), Math.min( originDistance0, originDistance2 ) ) > projectionRadius ) {
    return false; // Axis is a separating axis
}
...

编辑 2： 我还尝试了以下方法，这让我更接近了，但仍然没有得到所有的交叉点并且得到了不应该有的交叉点。 https://gist.github.com/3558420

更新：仍然无法获得正确的交集结果。查看了 Eli 的代码，但它似乎是针对 2d 数据的，而且术语不同，所以我没有找到我的代码和他的代码之间的联系。

更新 2： 其他尝试一直在尝试this 代码，这就像事实上的标准。我得到一个交叉点，应该有 4 个交叉点，其中 2 个包含三角形的点，3 个包含边，1 个只是平面。

被捕获的交点有一个点和两个边（加上平面）。还有另一个对象具有相同的特征，但位置不同，这不算作相交。这是我正在处理的数据，突出显示的“体素”是作为与三角形相交返回的数据。

以下测试类别返回的交集结果：

体素1：无，全部通过，默认返回“true”。
Voxel2：第 2 类
Voxel3：第 3 类
Voxel4：第 3 类
Voxel5：第 3 类

更新 3：另一种实现，更好的结果

好的，在 codezealot.org 阅读 William Bittle 的 article 之后，我实现了以下内容：

public static boolean testTriangleAABB( Triangle triangle, BoundingBox boundingBox, double size ) {
    Vector3d[] triangleAxes = getAxes( triangle.getPoints() );
    Vector3d[] aabbVertices = getVertices( boundingBox, size );
    Vector3d[] aabbAxes = getAxes( aabbVertices );

    // loop over the triangleAxes
    for( int i = 0; i < triangleAxes.length; i++ ) {
      Vector3d axis = triangleAxes[ i ];
      // project both shapes onto the axis
      Projection p1 = project( triangle.getPoints(), axis );
      Projection p2 = project( aabbVertices, axis );
      // do the projections overlap?
      if ( !p1.overlap( p2 ) ) {
        // then we can guarantee that the shapes do not overlap
        return false;
      }
    }

    // loop over the aabbAxes
    for( int i = 0; i < aabbAxes.length; i++ ) {
      Vector3d axis = aabbAxes[ i ];
      axis.normalize();
      // project both shapes onto the axis
      Projection p1 = project( triangle.getPoints(), axis );
      Projection p2 = project( aabbVertices, axis );
      // do the projections overlap?
      if ( !p1.overlap( p2 ) ) {
        // then we can guarantee that the shapes do not overlap
        return false;
      }
    }
    // if we get here then we know that every axis had overlap on it
    // so we can guarantee an intersection
    return true;
}

坐标轴代码：

public static Vector3d[] getAxes( Vector3d[] vertices ) {
    Vector3d[] axes = new Vector3d[ vertices.length ];
    // loop over the vertices
    for ( int i = 0; i < vertices.length; i++ ) {
        // get the current vertex
        Vector3d p1 = vertices[ i ];
        // get the next vertex
        Vector3d p2 = vertices[ i + 1 == vertices.length ? 0 : i + 1 ];
        // subtract the two to get the edge vector
        // edge vector can be skipped since we can get the normal by cross product.
        // get either perpendicular vector
        Vector3d normal = new Vector3d();
        normal.cross( p1, p2 );
        axes[ i ] = normal;
    }
    return axes;
}

投影类的重叠方法如下：

public boolean overlap( Projection projection ) {
    double test1;
    double test2;

    // and test if they are touching 
    test1 = min - projection.max;   // test min1 and max2 
    test2 = projection.min - max;   // test min2 and max1

    if( ( ( test1 > 0 ) || ( test2 > 0 ) ) ) {      // if they are greater than 0, there is a gap 
        return false;                               // just quit } 
    }
    return true;
}    

现在我正在使用另一个数据集来全面测试交叉点，因为我从上一个数据集中得到了一些误报。

三角形 0：真
三角形 1：正确
三角形 2：真 三角形 3：错误
三角形 4：错误
三角五：真

(true = 相交..)

这是我的数据集，根据结果标注。

所以我的想法是我没有得到正确的数据，因为我正在测试错误的轴/法线。所以我为 AABB 尝试了以下方法，并为三角形尝试了稍微修改的版本：

public static Vector3d[] getAABBAxes( Vector3d[] vertices ) {
    Vector3d[] axes = new Vector3d[ 6 ];
    // loop over the vertices
    for ( int i = 0; i < 6; i++ ) {
        // get the current vertex
        Vector3d p1 = vertices[ i ];
        // get the next vertex
        Vector3d p2 = vertices[ i + 1 == vertices.length ? 0 : i + 1 ];
        Vector3d p4 = vertices[ i + 3 == vertices.length ? 0 : i + 3 ];
        Vector3d edge1 = new Vector3d();
        Vector3d edge2 = new Vector3d();
        edge1.sub( p2, p1 );
        edge2.sub( p4, p1 );
        // subtract the two to get the edge vector
        // edge vector can be skipped since we can get the normal by cross product.
        // get either perpendicular vector
        Vector3d normal = new Vector3d();
        normal.cross( edge2, edge1 );
        normal.normalize();
        axes[ i ] = normal;
    }
    return axes;
}

我明白了：

三角形 0：真
三角形 1：正确
三角形 2：错误
三角形 3：真 三角形 4：真 三角五：真

Answer 1

您可以在我不久前制作的游戏中检查我的 c#（在这种情况下几乎与 java 相同...）植入。 http://code.google.com/p/gotcha/source/browse/trunk/Gotcha/trunk/Gotcha/Gotcha/GameEnteties/GameEntity.cs#171

寻找方法：IsSATCollision

为简单起见，将其接受的参数视为具有顶点的参数。

Answer 2

我的测试得到误报的原因与三角形测试有关。

要测试一个三角形，它是 3D 空间中的一个平面，您必须针对 4 个轴（又名法线）进行测试。

1. 表面法线
   
   • 三角形两条边之间的叉积。
2. 边缘法线 1
   
   • 表面法线和边 1 之间的叉积。
3. 边缘法线 2
   
   • 表面法线和边 2 之间的叉积。
4. 边缘法线 3
   
   • 表面法线和边 3 之间的叉积。

所以最后，要在立方体和三角形之间进行适当的（至少到目前为止它工作正常）碰撞测试，您必须执行 7 轴测试。

每个测试都包括检查三角形和方框顶点与轴（法线）的关系。这可以分解为三角形和盒子测试，如果其中一个有分离轴，那么你不必做另一个。

注意：这个测试只会给你真/假结果。没有提供其他数据。

public static boolean testTriangleAABB( Triangle triangle, 
        Vector3d origin, double size ) {
    setTriangleNormal( triangle.getNormal( true ) );
    Vector3d[] aabbVertices = calculateAABBVertices( origin, size );

    // Triangle Normal axis test, false = No Collision.
    if( !testTriangleNormal( triangle, aabbVertices ) ) {
        return false;
    }

    // Triangle Edge Normals axis test, false = No Collision.
    if( !testTriangleEdgeNormals( triangle, aabbVertices ) ) {
        return false;
    }

    // Axis-Aligned Bounding Box X, Y, Z axis test, false = No Collision.
    if( !testAABBAxis( triangle, aabbVertices ) ) {
        return false;
    }     

    // if we get here then we know that every axis had overlap on it
    // so we can guarantee an intersection
    return true;
}

...

private static boolean testTriangleEdgeNormals( Triangle triangle, Vector3d[] aabbVertices ) {
    Vector3d edge = new Vector3d();
    Vector3d edgeNormal = new Vector3d();

    // loop over the triangle edge normals
    Vector3d[] points = triangle.getPoints();
    for( int i = 0; i < points.length; i++ ) {
        int iOverflow = i + 1 == points.length ? 0 : i + 1;
        edge.sub( points[ i ], points[ iOverflow ] );
        edge.normalize();
        edgeNormal.cross( getTriangleNormal(), edge );

        // project both shapes onto the axis
        projectionAABB = project2D1D( aabbVertices, edgeNormal );
        projectionTriangle = project2D1D( triangle.getPoints(), edgeNormal );
        // do the projections overlap?
        if ( !projectionAABB.hasOverlap( projectionTriangle ) ) {
            // then we can guarantee that the shapes do not overlap
            return false;
        }
    }
    return true;
}

此外，无需计算 Axis-Aligned Bounding Box 轴。因为它们是轴对齐的，所以轴将如下所示：

private static final Vector3d[] AABB_AXES = { 
    new Vector3d( -1.0, 0.0, 0.0 ), 
    new Vector3d( 0.0, -1.0, 0.0 ),
    new Vector3d( 0.0, 0.0, -1.0 ) };