简单的浮点数失去精度

Question

我正在使用 Delphi XE2 Update 3。即使是最简单的浮点数（如 3.7）也存在精度问题。鉴于此代码（32 位控制台应用程序）：

program Project1;

{$APPTYPE CONSOLE}
{$R *.res}

uses System.SysUtils;

var s: Single; d: Double; x: Extended;
begin
  Write('Size of Single  -----  ');  Writeln(SizeOf(Single));
  Write('Size of Double  -----  ');  Writeln(SizeOf(Double));
  Write('Size of Extended  ---  ');  Writeln(SizeOf(Extended));  Writeln;

  s := 3.7;  d := 3.7;  x := 3.7;

  Write('"s" is ');                  Writeln(s);
  Write('"d" is ');                  Writeln(d);
  Write('"x" is ');                  Writeln(x);                 Writeln;

  Writeln('Single Comparison');
  Write('"s > 3.7"  is  ');          Writeln(s > 3.7);
  Write('"s = 3.7"  is  ');          Writeln(s = 3.7);
  Write('"s < 3.7"  is  ');          Writeln(s < 3.7);           Writeln;

  Writeln('Double Comparison');
  Write('"d > 3.7"  is  ');          Writeln(d > 3.7);
  Write('"d = 3.7"  is  ');          Writeln(d = 3.7);
  Write('"d < 3.7"  is  ');          Writeln(d < 3.7);           Writeln;

  Writeln('Extended Comparison');
  Write('"x > 3.7"  is  ');          Writeln(x > 3.7);
  Write('"x = 3.7"  is  ');          Writeln(x = 3.7);
  Write('"x < 3.7"  is  ');          Writeln(x < 3.7);           Readln;
end.

我得到这个输出：

Size of Single  -----  4
Size of Double  -----  8
Size of Extended  ---  10

"s" is  3.70000004768372E+0000
"d" is  3.70000000000000E+0000
"x" is  3.70000000000000E+0000

Single Comparison
"s > 3.7"  is  TRUE
"s = 3.7"  is  FALSE
"s < 3.7"  is  FALSE

Double Comparison
"d > 3.7"  is  TRUE
"d = 3.7"  is  FALSE
"d < 3.7"  is  FALSE

Extended Comparison
"x > 3.7"  is  FALSE
"x = 3.7"  is  TRUE
"x < 3.7"  is  FALSE

您可以看到extended 是唯一能够正确计算的类型。我认为精度只是使用像3.14159265358979323846 这样的复杂浮点数时的问题，而不是像3.7 这样简单的问题。使用single 时的问题是有道理的。但是为什么double 不起作用？

Answer 1

必读：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, David Goldberg。

问题不在于精度。相反，问题是可表示性之一。首先，让我们重新定义浮点数用于表示实数。有无限数量的实数。当然，整数也可以这样说。但这里的区别在于，在特定范围内，整数的数量是有限的，而实数的数量是无限的。事实上，就像originally shown by Cantor 一样，任何有限的实数区间都包含不可数的实数值。

所以很明显，我们不能在有限机器上表示所有实数。那么，我们可以表示哪些数字？嗯，这取决于数据类型。 Delphi 浮点数据类型使用二进制表示。单（32 位）和双（64 位）类型符合 IEEE-754 标准。扩展（80 位）类型是 Intel 特定类型。在二进制浮点中，可表示的数字具有 k2ⁿ 的形式，其中 k 和 n 是整数。请注意，我并不是说这种形式的所有数字都是可表示的。这是不可能的，因为这样的数字是无限的。相反，我的观点是所有可表示的数字都是这种形式。

可表示的二进制浮点数的一些示例包括：1、0.5、0.25、0.75、1.25、0.125、0.375。您的值 3.7 不能表示为二进制浮点值。

这与您的代码有关的意思是，没有一个代码按照您的预期进行。您希望与值 3.7 进行比较。但是，您正在与最接近的可表示的值进行比较，以 3.7。作为实现细节的问题，这个最接近的可精确表示的值是在扩展精度的上下文中。这就是为什么使用扩展的版本似乎符合您的期望。但是，不要认为这意味着您的变量 x 等于 3.7。事实上，它等于最接近 3.7 的可表示扩展精度值。

Rob Kennedy 的most useful website 可以向您显示与特定数字最接近的可表示值。在 3.7 的情况下，这些是：

3.7 = + 3.70000 00000 00000 00004 33680 86899 42017 73602 98112 03479 76684 57031 25 3.7 = + 3.70000 00000 00000 17763 56839 40025 04646 77810 66894 53125 3.7 = + 3.70000 00476 83715 82031 25

这些以扩展、双、单的顺序呈现。换句话说，这些分别是变量x、d 和s 的值。

如果您查看这些值，并将它们与最接近 3.7 的扩展值进行比较，您就会明白为什么您的程序会产生它所产生的输出。这里的单精度和双精度值都大于扩展。这是你的程序告诉你的。

我不想就如何比较浮点值提出任何笼统的建议。做到这一点的最佳方法总是非常关键地取决于具体问题。不能给出有用的一揽子建议。

Answer 2

简短回答：0.7 无法精确表示（二进制浮点值始终是分母为 2 的幂的分数。）；您将其存储在其中的数据类型的精度（以及编译器为您要与之比较的常量类型选择的类型）可能会影响该数字的表示并影响比较。

道德：永远不要直接比较两个浮点值是否相等，除非它们是完全相同的数据类型并分配了相同的确切值。

必填链接：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

另一个可能有用的链接是 Delphi 的 Math.SameValue 函数，它允许您根据特定的允许增量（差异）比较两个浮点值以获得近似相等。