如何在数学中定义一个使用复杂递归关系的函数？

Question

我正在尝试编写一个小脚本来计算整数序列。我试图用代码编写的函数是黑板中的一个，a(n)。问题是我期待我在脚本中定义的函数 h(n) 给出一个数字作为结果，但它给出了其他东西：对于 h(2) 它给出了ArgMax[{p, HarmonicNumber[p] <= 1}, p, Integers] 我该如何纠正？ （您必须了解我绝不是程序员，对mathematica也不太了解。在此先感谢。 我写的脚本是这样的：

    h[n_] := (ArgMax[{p, 
      Sum[1/s, {s, 1 + Sum[h[k], {k, 1, (n - 1)}], p}] <= 1}, p, 
     Integers]) - Sum[h[k], {k, 1, (n - 1)}]; h[1] = 1;

a(n)=(maximum p such that the sum from s equals r to p is less or equal than one)-r+1, where r=1+the sum from k=1 to (n-1) of a(k), and a(1)=1

PD：那些看起来像 v 的字母是 r。对不起。

Answer 1

a[1] = 1;

a[n_] := Module[{sum = 0},
  r = 1 + Sum[a[k], {k, n - 1}];
  x = r;
  While[sum <= 1, sum += 1/x++];
  p = x - 2;
  p - r + 1]

Table[a[n], {n, 6}]

{1、2、6、16、43、117}

a[4] 的结果是 16 而不是 14。

为了说明，当n = 4

r = 1 + Sum[a[k], {k, 4 - 1}]

  = 1 + a[1] + a[2] + a[3]       (* refer to established results for a[n] *)

  = 1 +  1  +  2  +  6  =  10

sum = 0;
x = r;
While[sum <= 1, sum += 1/x++];
p = x - 2;
p - r + 1

16

或者其他形式

Total[Table[1/s, {s, 10, 25}]] <= 1   (* True *)

p - r + 1 = 25 - 10 + 1 = 16

使用 memoisation，正如 ogerard 所提到的

Clear[a]

a[1] = 1;

a[n_] := a[n] = Module[{sum = 0},
   r = 1 + Sum[a[k], {k, n - 1}];
   x = r;
   While[sum <= 1, sum += 1/x++];
   p = x - 2;
   p - r + 1]

仅将以下运行时间减少 9 秒

Timing[Table[a[n], {n, 14}]]

{40.8906, {1, 2, 6, 16, 43, 117, 318, 865, 2351, 6391, 17372, 47222, 128363, 348927}}

Answer 2

您收到此答案的主要原因是 Mathematica 中的 Sum 命令进行复杂的符号计算以将术语和表达式重写为经典数学函数，试图对所有内容做出尽可能少的假设。

当然，如果你将整数的倒数相加，它会尝试返回调和数。

它通常很有用，但可能有交叉用途。

为避免这种情况，只需替换

Sum[ , {var, start, end}]

通过

Total[Table[ , {var, start, end}]]

它应该给你你想要的，而不需要额外的时间来符号解释和。

无论如何，您的代码中存在重大问题。

• 你应该对 h 使用 memoization

• 您希望找到最大值 p，使得从 r 开始的逆数之和小于或等于 1。您的代码不会这样做。您不能简单地将不等式放入范围参数中。您必须通过控制或使用反函数来循环总和。