伴随矩阵复杂度答案

【问题标题】：Companion matrix complexity伴随矩阵复杂度
【发布时间】：2009-04-26 20:27:02
【问题描述】：

我知道这更像是一个复杂性理论问题而不是一个编程问题，希望我在这里没有做错事情，如果是错误的地方，我很抱歉，但我希望你们中的某个人有答案。它甚至在某种程度上与编程相关，因为它是一个复杂性理论问题。

我正在研究线性循环序列，我读到为了获得它弹出的序列的第 n 个值，你需要获得一些伴随矩阵的幂，我想知道是否有已知的算法快速获得这种矩阵的幂..

我无法给出编码示例，但我会尽力为您提供更多解释：

k阶齐次线性循环序列：
s(n+k)=a(k-1)s(n+k-1)+a(k-2)s(n+k-2)+...+a(0)
对于 n=0,1,.. 其中 s(i) 是序列的第 i 个值，a(i) 是代数域中的系数。

A 是上述序列的伴随矩阵，如果它是：
( 0 0 0 0 ... 0 a(0) )
( 1 0 0 0 ... 0 a(1) )
( 0 1 0 0 ... 0 a(2) )
( .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..)
( 0 0 0 0 ... 1 a(k-1) )
此外，理论指出，对于序列的状态向量，我们有：
s(n) = s(0)A^n for n=0,1,..
就是这样，谢谢你的帮助。

【问题讨论】：

标签： matrix complexity-theory

【解决方案1】：

快速求出矩阵幂的常用策略是将其对角化（执行特征向量分解）：

A = P^-1 D P

其中 D 是对角矩阵。然后，您可以通过计算将 A 提高到 n 次方

Aⁿ = P^-1 Dⁿ P

其中 Dⁿ 计算速度很快，因为它是一个对角矩阵，因此您只需分别计算每个元素的幂即可。

但是，并非所有矩阵都是可对角化的——我不知道您的伴生矩阵是否可以对角化。在任何情况下，您都可能会发现 this Wikipedia article 很有帮助。

【讨论】：

它并不总是可对角化的，只有当特征多项式的根不同时，无论如何，这很好，但我想知道是否有某种方法可以利用矩阵的结构，ty跨度>

【解决方案2】：

您可以使用O(log n) 矩阵乘积计算矩阵M 的nth 次方：

如果n=0，返回I
如果n是偶数，计算N=M^n/2并返回N*N
如果n是奇数，计算N=M^n-1并返回M*N

【讨论】：

很抱歉，我不知道如何在 O(log n) 中实现，我认为每个矩阵乘法仍然是 O(n^2)，其中 n 是数字行数（假设是方阵），不是吗？
哦，好吧，没读好：D 它是 O(log n) * 矩阵乘积的成本，所以它是 O(n^2 log n)，对吧？谢谢，但我认为这不是我需要的，我想知道特殊类型矩阵的一种利用...
不完全是。矩阵乘积（被认为）比这更难，但是矩阵的大小，比如 m×m，与指数 n 完全无关，因此使用 Strassen 算法或 O( m^3 log n) 与朴素算法。