是否可以查询 O(lg N) 范围内不同整数的数量？

Question

我已经阅读了一些关于两种常见数据结构的教程，它们可以在 O(lg N) 中实现范围更新和查询：Segment tree 和 Binary Indexed Tree (BIT / Fenwick Tree)。

我发现的大多数示例都是关于一些关联和交换操作，例如“范围内的整数之和”、“范围内的整数异或”等。

我想知道这两种数据结构（或任何其他数据结构/算法，请提出）是否可以在O（lg N）中实现以下查询？ （如果不是，那么 O(sqrt N) 怎么样）

给定一个整数数组 A，查询 [l,r] 范围内不同整数的个数

PS：假设可用整数的个数约为 10^5，所以used[color] = true 或位掩码是不可能的

例如：A = [1,2,3,2,4,3,1], query([2,5]) = 3，其中范围索引从 0 开始。

Answer 1

是的，这可以在 O(log n) 中完成，即使您应该在线回答查询。但是，这需要一些相当复杂的技术。

首先，让我们解决以下问题：给定一个数组，回答“索引 [l, r] 中有多少个

这是一个例子。说 1 5 2 6 8 4 7 1 是一个原始数组。

|1 1 2 4 5 6 7 8|
|1 2 5 6|1 4 7 8|
|1 5|2 6|4 8|1 7|
|1|5|2|6|8|4|7|1|

现在您可以在 O(log^2 n 次) 内回答这些查询：只需对分段树进行定期查询（遍历 O(log n) 个节点）并进行二分搜索以了解有多少个数字

使用Fractional Cascading 技术可以将速度提高到 O(log n)，这基本上允许您不在每个节点中而是仅在根中进行二进制搜索。但是它足够复杂，可以在帖子中描述。

现在我们回到原来的问题。假设您有一个数组 a_1, ..., a_n。构建另一个数组 b_1, ..., b_n，其中 b_i = 数组中下一次出现 a_i 的索引，如果是最后一次出现，则为 ∞。

示例（1-indexed）：

a = 1 3 1 2 2 1 4 1
b = 3 ∞ 6 5 ∞ 8 ∞ ∞

现在让我们计算 [l, r] 中的数字。对于每个唯一编号，我们将计算其在该段中的最后一次出现。使用 b_i 概念，您可以看到数字的出现是最后一个当且仅当b_i > r。所以问题归结为“[l, r] 段中有多少数字 > r”，这被简单地简化为我上面描述的内容。

希望对你有帮助。

Answer 2

如果您愿意离线回答查询，那么普通的旧段树/ BIT 仍然可以提供帮助。

• 根据 r 值对查询进行排序。
• 为范围求和查询 [0, n] 制作分段树

• 对于输入数组中的每个值，从左到右：

  1. 在段树中的当前索引 i 处递增 1。

  2. 对于当前元素，如果以前见过，则减 1 in
     段树在它的前一个位置。

  3. 通过查询范围 [l, r == i] 中的总和来回答以当前索引 i 结尾的查询。

简而言之，这个想法是继续标记向右的索引，即每个单独元素的最新出现，并将之前的出现设置回 0。范围的总和将给出唯一元素的计数。

总体时间复杂度再次为 nLogn。

Answer 3

有一种众所周知的离线方法可以解决这个问题。如果您有 n 个大小的数组和 q 个查询，并且在每个查询中，您需要知道该范围内不同数字的计数，那么您可以在 O(n log n + q log n) 时间复杂度内解决整个问题。这类似于在 O(log n) 时间内解决每个查询。

让我们使用 RSQ（范围求和查询）技术来解决问题。对于 RSQ 技术，您可以使用分段树或 BIT。让我们讨论一下分段树技术。

为了解决这个问题，您需要一种离线技术和一个分段树。现在，什么是离线技术？离线技术是离线做某事。在解决问题时，离线技术的一个例子是，您首先输入所有查询，然后对它们重新排序，这样您就可以正确、轻松地回答它们，最后按照给定的输入顺序输出答案。

解决方案思路：

首先，输入一个测试用例并将给定的 n 个数字存储在一个数组中。让数组名称为array[]，并接受输入q个查询并将它们存储在一个向量v中。其中v的每个元素都包含三个字段-l、r、idx。其中 l 是查询的起点，r 是查询的终点，idx 是查询的数量。像这个是第 n^th 查询。 现在根据查询的端点对向量 v 进行排序。 让我们有一个线段树，它可以存储至少 10^5 个元素的信息。我们还有一个名为 last[100005] 的区域。它存储数组[]中数字的最后一个位置。

最初，树的所有元素都为零，最后的所有元素都是-1。 现在在数组 [] 上运行一个循环。现在在循环中，您必须检查数组 [] 的每个索引。

last[array[i]] 是否为 -1？如果是 -1 则写入 last[array[i]]=i 并调用 update() 函数，该函数将在分段树的 last[array[i]] th 位置添加 +1。 如果 last[array[i]] 不是 -1，则调用段树的 update() 函数，该函数将在段树的 last[array[i]] 位置减去 1 或添加 -1。现在您需要将当前位置存储为将来的最后位置。因此您需要编写 last[array[i]]=i 并调用 update() 函数，该函数将在分段树的 last[array[i]] th 位置添加 +1。

现在您必须检查当前索引中的查询是否完成。即 if(v[current].r==i)。如果这是真的，那么调用段树的 query() 函数，它将返回范围 v[current].l 到 v[current].r 的总和，并将结果存储在 v[current].idx^th 的索引中答案[] 数组。您还需要将 current 的值增加 1。 6. 现在以给定的输入顺序打印包含最终答案的 answer[] 数组。

算法的复杂度是 O(n log n)。

Answer 4

也可以使用 Mo 的（离线）算法（也称为平方根分解算法）来解决给定的问题。

总体时间复杂度为 O(N*SQRT(N))。

详细解释请参考mos-algorithm，它甚至有复杂性分析和可以用这种方法解决的SPOJ问题。

Answer 5

kd-trees 提供 O(logn) 范围内的查询，其中 n 是点数。

如果您想要比 kd-tree 更快的查询，并且您愿意支付内存成本，那么 Range trees 是您的朋友，提供以下查询：

O(log^dn + k)

其中 n 是存储在树中的点数，d 是每个点的维度，k 是给定查询报告的点数。

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_{宾利在这个领域是一个重要的名字。 :)}