范围最小查询 <O(n), O(1)> 方法（查询）答案

【问题标题】：Range Minimum Query <O(n), O(1)> approach (Query)范围最小查询 <O(n), O(1)> 方法（查询）
【发布时间】：2013-01-24 22:55:22
【问题描述】：

接上两个问题，“Range Minimum Query approach (from tree to restricted RMQ)”和“Range Minimum Query approach (Last steps)”

我在TopCoder上关注this tutorial，方法在上一节介绍。

现在假设我已经完成了所有工作，并且准备好接受查询。根据教程，这是我应该做的：

i 和 j 在同一个块中，所以我们使用 P 和 T 中计算的值

例如，如果有这样的块：

最小值当然在第三个0，但是如果i和j像4和6一样，第三个0就不会在查询条件中。是不是我的理解错了？

i 和 j 位于不同的块中，因此我们计算三个值：使用 P 和 T 从 i 到 i 块末尾的最小值，最小值 i's 和 j's 块之间的所有块使用 A' 上的预计算查询以及从 j 的块开始到 j 的最小值，再次使用 T 和磷；最后返回整体最小值使用的位置您刚刚计算的三个值。

为什么要计算从 i 到 i 块末尾的最小值以及从 j 块开始到 j 的最小值？两者的答案不都在 i...j 之外吗？另外，如果不完全像上一个问题那样合适，该怎么做。

【问题讨论】：

标签： algorithm rmq

【解决方案1】：

最小值当然在第三个0，但是如果i和j像4和6一样，第三个0就不会在查询条件中。是不是我的理解错了？

这个想法是为每个可能的块中的所有索引对预先计算 RMQ。因此，无论您在该块中查询什么索引，您都应该始终能够在 O(1) 时间内读取块内两个值的 RMQ。在您在问题中列出的情况下，索引 4 和 6 不包含块最小值这一事实是正确的，但无关紧要。您已经为索引 4 和 6 预先计算了 RMQ。

为什么要计算从 i 到 i 块末尾的最小值以及从 j 块开始到 j 的最小值？两者的答案不都在 i...j 之外吗？另外，如果不完全像上一个问题那样合适，该怎么做。

考虑这张图片：

+------+------+------+------+------+------+
| ?i?? | ???? | ???? | ???? | ??j? | ???? |
+------+------+------+------+------+------+
   ^                            ^
   i                            j

如果你想解决 RMQ(i, j)，那么最小值可能在三个位置之一：

在与 i 相同的块中，在从 i 在其块内的位置到其块末尾的索引处，
在与 j 相同的块中，在从 0 到 j 在其块中的位置的索引处，或
在中间三个街区之一的某个地方。

该算法通过使用预先计算的表来解决前两种情况的问题，然后使用另一种算法来解决第三种情况。这三个中的最小值应该是您的答案。

希望这会有所帮助！这绝不是一个简单的算法，所以如果您需要帮助，请随时在这里提出更多问题！

【讨论】：

所以 P 和 T 实际上有所有这些组合和所有可能的索引组合？该数据结构将如何？您可以将其添加到答案中吗？
我没有看到教程中关于计算每对索引的参考，我认为这将是 O(N^2)。
@ShaneHsu- 关于比较块内所有索引对的部分：“因此，对于每个大小为 l 的二进制块，我们需要在表 P 中锁定每对之间的 RMQ 值指数。这可以在 O(sqrt(N)*l2)=O(N) 时间和空间中轻松计算"
@ShaneHsu- 块大小选择为 log(n / 2)，因此每个块只有 (log(n / 2))^2 对索引，小于 O( N)。块的数量最终为 sqrt(N)，因此计算所有索引的总工作量为 O(sqrt(N) log(N)^2)，小于 O(n)。
@ShaneHsu- 至于你将使用的数据结构 - 你可以有一个三维数组，其中第一个索引是块索引，第二个索引是块中的起始位置，第三个索引是块内的结束位置。这可能是最简单的方法。