使用 igraph、network 或其他 R 包计算有向无环图的所有生成树答案

【问题标题】：Compute ALL spanning trees of a directed acyclic graph using igraph, network, or other R package使用 igraph、network 或其他 R 包计算有向无环图的所有生成树
【发布时间】：2023-03-12 10:25:01
【问题描述】：

我想为一个图计算完整的生成树集。我正在使用的图表很小（通常少于 10 个节点）。

我看到了用igraph计算最小生成树的功能：

library(igraph)
g <- sample_gnp(100, 3/100)
g_mst <- mst(g)

我看到previous StackOverflow post 描述了如何使用breadth-first search 计算生成树。下面的代码改编自接受的答案：

r <- graph.bfs(g, root=1, neimode='all', order = TRUE, father = TRUE)
h <- graph(rbind(r$order, r$father[r$order, na_ok = TRUE])[,-1], directed = FALSE)

但是，我不知道如何调整它来计算多个生成树。如何调整这段代码来计算所有生成树？我在想其中的一部分是遍历每个节点以用作每棵树的“根”，但我不认为这会带我一路走到那里（因为仍然可能有多个关联的生成树具有给定的根节点）。

编辑

最终目标是计算图的失真，其定义如下（link, see page 5）：

考虑图G上的任意生成树T，计算平均距离t = E[H_T] 位于 T 之间的任意两个节点之间，它们共享 G 中的链接。失真衡量 T 如何扭曲 G 中的链接，即它衡量从 G 中链接的一侧需要多少额外的跃点到另一个，如果我们被限制使用 T。失真被定义为 [13] 为所有可能的 Ts 中最小的此类平均值。直观上，失真衡量的是图形的树状程度。

[13] R. G. H. Tagmunarunkit 和 S. Jamin，“网络拓扑生成器：基于度数与结构性”，SIGMCOMM，2002 年。

【问题讨论】：

标签： r distance igraph graph-theory

【解决方案1】：

我认为您不会在 R 包上找到执行此操作的函数。

图上有 n^{n-2} 棵生成树（根据Cayley's formula）。即使在有 10 个节点的图上，也可能存在 1,000,000,000 棵不同的生成树，这是一个很大的数字。

此外，计算或枚举给定图的所有生成树的问题是#P-Complete，这与 NP-Complete 问题一样难。

如果您真的愿意这样做，我建议您放弃 R 并开始使用 C 或 C++，它可以比任何 R 代码更快地计算您的问题。
查看this paper 以了解有关计算连通图的所有生成树的算法的调查（我认为是您的情况）。

【讨论】：

谢谢，这是有道理的，但让我对通常如何计算 distortion 图形指标感到困惑（这是我的最终目标）。你熟悉这个指标吗？我编辑了我的帖子以包含定义。
另外值得一提的是，我的用例仅限于 DAG（有向无环图）。现在我想多了……也许这个指标在这里没有意义。
既然你有有向图，那么跨越树枝的数量（是的，名字改变了）是 n^{(n-2)/2}。但是，这仍然是一个很大的数字:(
我以前从未见过这个指标。但是，我们可以看看文献。可能有更好的选项（和一些图形属性）允许您在不计算图形的所有跨越树状结构的情况下计算它