根据矩阵判断一个网络（图）是否连通

Question

如何从描述双模网络的给定 m x n 矩阵中确定它是否已连接？

当然可以创建一个数据结构来找出它——但是有什么数学解决方案吗？

我发现 n x n 矩阵（单模网络）很容易：解决方案是：M * M，然后查看结果矩阵中的对角线。如果对角线上有任何零，则它没有连接。这不是真的吗？

您对这两个问题有何建议？

Answer 1

单模网络没那么简单，但你已经接近了。

网络矩阵M 自己一步一步告诉你哪个节点连接到哪个其他节点。 M * M 告诉您哪个节点以 正好两步 的方式连接到另一个节点，M ^ 3 是否以 正好三步 的方式告诉您，等等。 “精确”很重要，因为如果节点本身没有连接（零对角元素），那么M * M 不仅获得了两步连接，还失去了一步连接。

因此，如果所有节点都连接到自己，则产品（权力）会更有用：

A = (M + eye(size(M)) > 0)

此步骤还将加权矩阵转换为纯邻接矩阵。现在

(A ^ i > 0)

为您提供两个节点是否以i 步骤连接的信息或更少。在有n = size(M, 1) 节点的网络中，两个节点之间的距离最多可以是n - 1 步。因此

C = (A ^ (n - 1) > 0)

为您提供两个节点是否连接的信息根本。如果没有成对的未连接节点，则整个网络是连接的，即如果

connected = (sum(C(:)) == N ^ 2)

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我不确定如何定义双模网络中的连通性。一种简单的方法是忽略两种类型节点之间的差异，并将它们都视为单模网络的一部分。如果M是大小为[m, n] = size(M)的原始二模网络矩阵，那么

M = [zeros(m, m) , M ; M' ; zeros(n, n)];

将其转换为描述相应大小为(m+n)x(m+n)的单模网络的矩阵。

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这些矩阵幂不仅可以告诉您整个网络是否连通，如果没有，它们还可以用于查找连通的子网络（网络集群）。由于矩阵的幂行为与其谱分解密切相关（又名eigendecomposition），因此这个想法导致了spectral clustering 的方法。有关加权同步网络的应用，请参见例如arXiv:0706.3375.