理解大 O 符号——破解编码面试答案

【问题标题】：Understanding Big O notation - Cracking the Coding Interview理解大 O 符号——破解编码面试
【发布时间】：2019-04-13 03:05:24
【问题描述】：

我需要帮助理解作者如何得到大 O 章节中问题 11 的答案。

问题是这样的：

以下代码打印所有长度为 k 的字符串，其中字符按排序顺序排列。它通过生成所有长度为 k 的字符串然后检查每个字符串是否已排序来做到这一点。它的运行时间是多少？

public static int numChars = 26;

public static void printSortedStrings(int remaining) {
    printSortedStrings(remaining, "");
}

public static void printSortedStrings(int remaining, String prefix) {
    if (remaining == 0) {
        if (isInOrder(prefix)) {
            System.out.println(prefix); // Printing the string
        }
    } else {
        for (int i = 0; i < numChars; i++) {
            char c = ithLetter(i);
            printSortedStrings(remaining - 1, prefix + c);
        }
    }
}

public static boolean isInOrder(String s) {
    for (int i = 1; i < s.length(); i++) {
        int prev = ithLetter(s.charAt(i - 1));
        int curr = ithLetter(s.charAt(i));
        if (prev > curr) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

public static char ithLetter(int i) {
    return (char) (((int) 'a') + i);
}

public static void main(String[] args) {
    printSortedStrings(2);
}

书答案：

O(kc^k)，其中 k 是字符串的长度，c 是字母表中的字符数。生成每个字符串需要 O(c^k) 时间。然后，我们需要检查它们中的每一个是否已排序，这需要 O(k) 时间。

请注意，上面的答案没有考虑打印字符串，但我在其他问题中看到了相反的情况。

你什么时候考虑在运行时打印字符串？

这是正确的答案吗O(k²c^k)？

此外，任何关于能够快速判断此代码的运行时存在指数部分的建议将不胜感激。 :)

【问题讨论】：

你如何到达 O(k²c^k) ？ “2”来自哪里（教科书只有 O(k c^k) ）。
如果您想考虑打印字符串，那么找到的每个答案都是 O(k)。所以你可以把它算作“检查”的一部分（对于每个候选者来说已经是 O(k)）并且它不会增加复杂性。
为什么字符串连接prefix + c不会影响复杂度？我的理解是它本身有O(n)。我错过了什么？
字符串连接的复杂性在最终的k 因素中得到了说明。我认为这会更糟，因为它是在每次通话时完成的，而不是只在最后完成，但通话总数与最后的通话次数成正比，所以没有区别。

标签： java algorithm sorting big-o

【解决方案1】：

简而言之，不。正确答案是 O(kc^k)，如书中所述。

在您检查一个字符串以检查其字符是否已排序后，这将花费 O(k)，打印它只会增加 O(k) - 这不会改变您的复杂性。

假设测试一个字符串是否有序需要a*k 操作，打印它需要b*k。那么每个字符串的操作总数最多为(a+b)*k，仍然是O(k)。

编辑：关于问题的第二部分，遍历所有固定长度的单词会导致运行时复杂度呈指数增长，因为有 c^k 个这样的单词其中c 是字母的大小，k 是单词的长度。

【讨论】：

我想我现在明白了。每次执行isInOrder 后都会（最多）打印字符串，这就是为什么它不是 O(k*k) 而是 O(k + k) 的原因。 O(k + k) 变为 O(2k)，但我们放弃了常数。我对么？我的逻辑有道理吗？
太棒了！感谢您的帮助并回答了我的问题的第二部分。

【解决方案2】：

一般来说，打印一个恒定长度的字符串也被认为是恒定的，但是如果我们想要更精确，让我们将单个字符的打印视为基本操作：这意味着要打印一个 k 长度的字符串，我们有 @987654321 @。

因为我们有 O(c^k) 个可能的字符串，对于每个字符串，我们必须检查它是否已排序（使用 O(k)）并打印它们（另一个 O(k) )，总复杂度变为 O(c^k(k + k)) = O(2c^kk)。

但是将一个函数乘以一个常数因子并不会改变它的复杂性，因此答案仍然是 O(c^kk)。

【讨论】：

【解决方案3】：

打印字符串只是对k 时间的额外补充。

检查每个字符串是否已排序是O(k)，并说打印它是O(dk)，对于某个整数d（一个常量）。将两者相加得到O(k + dk)，可以重写为O(k(1 + d))。因为这只是我们知道O(k + dk) = O(k) 的一个标量，所以答案不会改变。

【讨论】：