将循环计数器减半时的时间复杂度

Question

我知道我们将循环计数器减半时的时间复杂度是log n。也就是说，如果我们有以下循环：

for(i=1 ; i<n ; i*=2) { ... }

那么时间复杂度是log n。

不应该将循环计数器i 再次减半给log log n 时间复杂度吗？那就是下面的循环

for(i=1 ; i<n ; i*=4) { ... }

时间复杂度是log log n？

我尝试了n 的一些值：

n = 2^8 = 256
i = 1,4,16,64,256 (5 times)

n = 2^10 = 1024
i = 1,4,16,64,256,1024 (6 times)

n = 2^16 = 65536
i = 1,4,16,64,256,1024,4096,16384,65536 (9 times)

似乎循环体被执行了(log n)/2-1 次。 我对这个分析是否正确并且将循环计数器减半确实仍然给出O(log n) 时间复杂度而不是O(log log n) 时间复杂度？

Answer 1

你忘记了基地。在第一种情况下，我们假设基数为 2，因此我们只需将复杂度写为 O(logn)。

在第二种情况下，基数应该是 4，因为我们要乘以 4，所以它应该是 O(log₄n)。

Answer 2

对，这就是为什么我们说O(log n)，而不仅仅是log n。顺便说一句，对于实际日志 n，您必须循环使用 *e 或类似的东西

如果您使用*4 循环，它只会快两倍，并且仍然是O(log n)

为了得到 O(log log n) 你必须每次改变你的增加：

i*=2
i*=4 (= 2*2)
i*=16 (= 4*4)
i*=256 (= 16*16)
etc