打印 BST 的所有路径的时间复杂度是多少答案

【问题标题】：What is the time complexity of printing all paths of a BST打印 BST 的所有路径的时间复杂度是多少
【发布时间】：2020-07-24 22:46:42
【问题描述】：

我有这段代码，它与本网站上具有相同问题的其他一些代码略有不同：

public void printAllRootToLeafPaths(Node node,ArrayList path) {
    if(node==null){
        return;
    }
    path.add(node.data);

    if(node.left==null && node.right==null)
    {
        System.out.println(path);
        return;
    }
    else {
        printAllRootToLeafPaths(node.left, new ArrayList(path));
        printAllRootToLeafPaths(node.right,new ArrayList(path));
    }      
}

有人可以解释为什么最好的情况是 O(nlogn) 吗？最坏的情况，树分解成一个链表，数组被复制 1+2+3+...+n-1+n 次，相当于 n^2，所以时间复杂度是 O(n^2) .
沿着路径中的每个节点复制最佳情况数组。所以复制它看起来像 1+2+3+...+logn。 N/2 次。那么，如果 1+2+3+...+n-1+n 是 n^2，为什么总和 (logn)^2 不是呢？做最好的情况 O(n(logn)^2)？

【问题讨论】：

这能回答你的问题吗？ time complexity of Print all nodes from root to leaves
这段代码略有不同，因为每次调用方法都会复制数组。我的印象是复制数组会增加时间复杂度。也就是说，复制数组的成本 O(l) l 是数组的长度。因此对于每个路径中的每个节点，复制数组看起来像 1+2+3+...+logn。但是，似乎代码，添加整个数组一次的行为是 O(logn) （或者如果它被打印，它将是 O(logn)。所以我很困惑。是否为每个调用复制数组不会添加到时间复杂度？打印会增加时间复杂度吗？

标签： java algorithm recursion

【解决方案1】：

是的，所有的复制都需要考虑在内。

那些副本不是必需的；编写以下函数很容易：

使用（单）链表代替 ArrayList，或者
使用单个 ArrayList，在不再需要时覆盖以前的路径。

对于非复制算法，算法的成本是打印路径的成本，它是从根到叶的所有路径长度的总和。在每次调用时复制数组，使成本成为从根到每个节点的路径的总和，而不是每个叶子。（数组被复制两次其实和复杂度分析无关，只是乘以一个常数因子，可以忽略。）

使用非复制算法，最好的情况是一棵线性树，每个节点只有一个孩子。那么只有一个叶子的路径长度为N，所以总成本是O(N)。但如果你在每个节点上复制，那是最坏的输入；节点路径长度为连续整数，节点路径长度之和为二次方。

对于您的算法，最好的情况是完全平衡的完全占用树。在完全占用的树中，叶子节点比非叶子节点多一个；换句话说，大约一半的节点是叶子。在完美平衡的树中，每个节点都可以在最多 log N 步内从根到达。所以到每个节点的路径长度总和是 O(N log N)。（有些节点更接近，但是对于计算大 O，我们可以忽略这个事实。即使我们将其考虑在内，我们也会发现它不会改变渐近行为，因为每个深度的节点数每个连续级别的级别加倍。）因为一半的节点是叶子，所以这个输入的成本是 O(N log N) 与非复制算法。

两种算法都表现出最坏情况的二次复杂度。我们已经看到了复制算法的最坏情况输入：只有一个叶子的线性树。对于非复制算法，我们使用非常相似的东西：由左链接主干组成的树，其中每个右链接都是叶子：

由于那棵树被完全占用，它的一半节点是叶子，并且它们的距离连续增加，所以这又是二次的（尽管常数乘数更小。）

【讨论】：

【解决方案2】：

我认为您错过了将整个数组复制到新数组的时间复杂度。

在根节点：one element is added, but 2 new arrays are created。

根节点的左子节点：one element is added, but 2 new arrays are created with 2 elements。

。 . .

最后只有一层：one element is added, but 2 new arrays are created of size log n to base 2.

在最后一级：添加一个元素，并打印 log n 个元素。

因此，在每个节点处，都有一个将元素添加到列表的操作，以及一个打印或复制大小列表 (log h) 的操作 - 其中 h 是树中节点的高度。

由于我们只遍历所有元素一次，因此操作总数为：n additions + Sum (log h1 + log h2 + log h3 + .... log hn)

其中 h1, h2, h3...hn 是每个节点的高度。

大约是n + O(n log n)~O(n log n)。

【讨论】：