在 Scheme (DrRacket) 中实现数学公式

Question

首先让我说我在 Scheme/Racket 方面完全是新手。我正在尝试实现以下公式：

      α_i = (3/h)((a_i+1 – a_i) – (a_i – a_i-1))

这是我定义函数的方式：

(define alpha_values (lambda (y_values h n) (...))

我希望它使用y_values 列表以及一些常量h 和一个数字n 运行该函数，然后计算并返回一个 α列表> 价值观。 n 将从 1 变为 n-1，因此不会迭代列表的第一个和最后一个元素。

例如，如果y_values 的列表是'(2 4 6 8) 和h 是1 并且n 是3 那么应该有两个α 个值返回：一个用于 i=1 (y=4)，一个用于 i=2 (y=6)，像这样：3*((6-4)-(4-2)) = 0 和 3*((8-6)- (6-4)) = 0 为 α 返回'(0 0)。

说实话，我什至不知道如何开始实施这一点。我考虑过使用map，但我不知道这样做时是否可以跳过第一个和最后一个元素。我已经尝试使用car 和cdr 递归地这样做，但是在没有第一个元素的情况下再次递归调用函数时，我遇到了“丢失”计算所需列表中的一个元素的问题。对于如何实现这个公式的一些见解，我将不胜感激——不是答案，只是关于如何让球滚动的想法。

Answer 1

当您不确定如何解决特定问题时，请考虑将其分解为更易于管理、思考和实施的较小任务。

例如，从最终结果向后追溯，您想要生成一个 alpha 列表，其中每个 alpha 是使用上述公式从 h 和间隔 {a_i-1, a_i, a_i+1} 创建的。

因此，您可以创建一个小函数，我们称之为 compute-alpha，它以 interval 和 h 作为参数，然后使用公式生成 alpha。即：

(define (compute-alpha interval h)
  ...)

这个函数的主体就是公式，它的行为如下：

> (compute-alpha '(2 4 6) 1)
0
> (compute-alpha '(4 6 8) 1)
0

但随后您意识到您没有间隔（例如'(2 4 6)、'(4 6 8) 等）来使用compute-alpha。所以下一步是定义另一个小函数，我们称之为build-intervals，它将y-values 和n 作为参数，并生成一个区间列表。即：

(define (build-intervals y-values n)
  ...)

并表现如下：

> (build-intervals '(2 4 6 8) 3)
'((2 4 6) (4 6 8))
> (build-intervals '(1 2 3 4 5 6 7) 4)
'((1 2 3) (2 3 4) (3 4 5))

现在，剩下的就是在build-intervals 生成的每个区间上应用compute-alpha。这就是map 的亮点：

(define (alpha-values y-values h n)
  (map (lambda (interval)
         (compute-alpha interval h))
       (build-intervals y-values n)))

那么你可以：

> (alpha-values '(2 4 6 8) 1 3)
'(0 0)

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实现build-intervals 和compute-alpha 后，您可能会注意到将它们组合起来以将alpha-values 简化为一个函数，该函数在生成alpha 列表之前只迭代y-values 一次。