泛化函子的问题

Question

Functor in Control.Categorical.Functor 有如下定义：

class (Category r, Category t) => Functor f r t | f r -> t, f t -> r where
  fmap :: r a b -> t (f a) (f b)

但是假设我想要一个从普通函数到 Kleisli 箭头的函子（这可能是一个愚蠢的例子）。

我想要这样的类型：

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m a b

好吧，我可以让r = (->)，t = Kleisli m得到：

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m (f a) (f b)

但是，f 是什么？！我真的只想让它消失。我可以通过让f = Identity 使用Identity 函子，但随后我得到：

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m (Identity a) (Identity b)

这需要一些凌乱的展开。

然后我想到了这样定义 Functor：

class (Category r, Category t) => Functor r t where
  type family F r t x :: *
  fmap :: r a b -> t (F r t a) (F r t b)

这允许我为 Kleisli 定义一个 Functor 实例，如下所示（没有丑陋的 Identity 包装器）：

instance (Monad m) => Functor (->) (Kleisli m) where
  type F (->) (Kleisli m) a = a
  fmap f = Kleisli (return . f)

在此之后，我很确定我在：

fmap :: (Monad m) => (a -> b) -> Kleisli m a b

哪个好。

现在，我可以立即确定一个问题，即对于给定的 r 和 t 参数到 Functor，原始类定义允许 f 有多个选项，而根据我的定义，@987654341 @ 和 t 确定 f。这是一个严重的问题，好像我定义说：

fmap :: (a -> b) -> (Maybe a -> Maybe b)

我无法定义：

fmap :: (a -> b) -> ([a] -> [b])

在这两种情况下，r = (->) 和 t = (->)。所以目前我的Functor 甚至没有替换原来的 Prelude 版本。

所以我现在有一些问题：

1. 我可以调整我的定义，使r 和t 不能确定f（与原始版本一样）吗？或者这是否需要Injective Type Families（如果是这种情况，我很乐意编译头部来尝试这个）。
2. 我能否进一步调整我的定义，使f 和r 确定t 以及f 和t 确定r？
3. 执行上述操作后（如果不可能，则不执行）对类型推断有哪些潜在影响？
4. 与原来的相比，我的类定义是否还有其他不好的地方，比如增加打字？
5. 是否有任何替代方法仍然允许我定义 Kleisli 函子而不用 Identity 包装，同时比我提出的“更好”（更有用的结构、更好的类型推断等）。

很抱歉，最后几个问题有点含糊，我知道类型推断与一般性通常是一种权衡，但我只是在这个特殊情况下寻找一些想法。

（这个问题部分来自对this question的回答）

Answer 1

你能得到的最接近的应该是

class (Category r, Category t) => Functor
          (f :: *) (r :: *->*->*) (t :: *->*->*) where
  type F f x :: *
  fmap :: Tagged f ( r a b -> t (F f a) (F f b) )

instance Functor [()] (->) (->) where
  type F [()] x = [x]
  fmap = Tagged map

instance (Monad m) => Functor (Kleisli m () ()) (->) (Kleisli m) where
  type F (Kleisli m () ()) x = x
  fmap = Tagged $ \f -> Kleisli $ return . f