围绕给定点生成距离网格

Question

我正在处理欧几里得空间中的一组 (a) 点 P（为了简单起见，我们假设平面），(b) 一个边界矩形[a,b] x [c,d] 包含 P 中的所有点，以及 (c) 一个正整数向量 (m,n)，编码沿每个维度的细分。基本问题是

如何有效地构建到 P 的距离为 m x n 的网格？

特别是，我想在矩形 [a,b] x [c,d] 的明显 m x n 网格分解中生成到 P 的距离函数的三次近似：将 X 方向切成 m 块和 Y 方向分成 n 块，并且对于由分区产生的每个小矩形 R，计算如下定义的到 P 的 正整数距离 d(R)。

考虑一个加权图 G，它的顶点集 V 对应于我们网格中的小矩形，在邻居之间（甚至是对角线邻居）的边的权重为 $1$。如果相应的矩形包含 P 的一个点，则调用一个顶点“红色”。我要计算的是 V 上的函数 d，它采用正整数值，它将 G 中的最短距离与红色顶点相关联。因此，如果一个小矩形实际上包含来自 P 的一个点，那么它的关联顶点将被分配为“0”。如果它不包含 P 的点，但与包含的矩形相邻（甚至是对角线），则它得到“1”，依此类推...

考虑每个点到每个小矩形的距离并跟踪最小值的幼稚方法会产生 |P|mn 的成本，这对于大型网格来说似乎是令人望而却步的。所以这是我考虑的第二种方法：将每个 d(R) 设置为某个大的 MAX 到网格中不包含来自 P 的点的每个 R。然后，为每个包含 a 的 R 设置 d(R) = 0 P 的点并将其所有具有严格较大 d 值的邻居放入队列中。然后，迭代这个直到队列为空：

1. 从队列中弹出一个网格矩形 R，
2. 如果 d(R) > 1 + d(R') 其中 R' 是处理入队 R 的邻居，则设置 d(R) = 1 + d(R') 并将 R' 的所有邻居与 d 入队-值超过 1+d(R)。

对于如何比“第二种方法”更有效地解决此问题的任何想法，我将不胜感激。

Answer 1

您说的是二值图像中的拓扑距离。矩形可以被视为像素，包含 P 点的矩形定义距离 0。距离 1 用于紧邻的像素（通过边缘或角，8 连接），距离 2 用于紧邻后者的像素，依此类推开。

使用队列计算距离图是个好主意。通过推送 level0 像素的所有 8 个邻居来初始化队列。然后弹出它们，分配级别 1，并推送未分配的 8 个邻居......（就像你描述的那样）。

这是一个线性过程（每个像素都被处理了恒定的次数），因此它是最优的，因为每个像素的级别都需要计算。你不能做得更好。

我猜你也可以通过两次扫描线过程来填充距离图。

1) 处理从左上到右下，依次考虑每个像素的 4 个顶部和左侧 8 个邻居。 （取邻居中最小的级别并加1）。

2) 然后处理从右下角到左上角，考虑 4 个底部和右侧 8 个邻居。

Answer 2

您当前的算法适用于低维度。一般来说，对于 k 维，根据您当前允许对角线的方案，每个网格单元将有 3^k-1 个邻居，因为对于任何给定的网格位置，要生成相邻位置，您可以选择任何方式来分配位移每个坐标分别为 -1、0 或 1，但不允许由 k 个 0 组成的位移矢量。

我们称细胞总数为 p（例如 p = mn，k=2）。每个网格单元必须至少从队列中拉出一次，即使我们应用技巧来寻找避免将所有邻居推入队列的方法，在我看来，所有 3^k-1 的它的邻居此时仍然必须检查，所以我认为没有办法避免 O(3^k*p) 的运行时间。

然而，这也为这个算法的 O(3^k*p) 提供了一个上限 空间 边界来保持队列。这可能并不严格，但我仍然可以通过以下构造获得 k 维的 O(1.5^k*p) 空间使用的下界，我将首先针对 2D 情况进行描述：考虑一个由任意数量的 2x2 块构建的问题实例，其中每个块中的单元 (0, 0) 不包含点，而周围的 3 个单元每个包含一个或多个点。 （更高维度的模拟在每个维度中都有一个宽度为 2 的重复块，每个块中 (0, 0, ..., 0) 处的单元格不包含任何点，而另一个 2^k-1 具有一个或更多。）每个块内 (0, 0, ..., 0) 处的单元格具有 3^k-1 个距离值为 0 的邻居的完整队伍，因此它将被推入队列 3^k-1 次在第一个副本被拉出队列之前。我们唯一的缓解因素是输入中每 2^k 个单元格中只有 1 个具有此属性，因此总共 (3^k-1)/2^k = O(1.5^k) 个单元格将被推送到平均每个单元格排队，或总体 O(1.5^k*p)。 （当然，其他构造可能会产生更高的上限......）

尽管如此，可以通过维护一个 m*n 标志数组来摆脱这个 1.5^k 因素，以指示特定单元格是否已被推入队列。这是有效的，因为总距离不会随着从队列中读取单元格而减少（这是广度优先搜索，当搜索图中的所有边都具有单位权重时，这是最佳优先搜索），所以 第一次一个单元格被拉出队列的时间是它的最小值。 这意味着没有必要一开始就推送该单元格的剩余副本，您可以通过检查在这样做之前为该单元格设置相应的标志，然后设置它。您将需要 O(p) 额外的标志空间，但这并不比您已经用来保存输入的空间多，并且每个标志实际上可以是一个位，这会降低（上界）整体空间复杂度降至 O(p)。