需要关于分离线性滤波器的解释

Question

我很难理解线性滤波器在 x 轴和 y 轴上的分离。根据Wikipedia，可以像这样分离高斯模糊：

我不能很好地理解这种情况。对于初学者，请考虑等式的右侧。过滤器显示 1/16*(左上像素 + 2 * 上像素 + 右上像素 + ...)。现在左边说了什么？ 1/4*（上 + 2 * 中 + 下）* 1/4 *（左 + 2 * 中 + 右）？

很明显我弄错了。现在正确的方法是什么？右侧过滤器可以应用于每个像素。那么我们如何应用左侧过滤器呢？

Answer 1

右侧滤镜可以应用于每个像素。那么我们如何应用左侧过滤器呢？

左侧将卷积执行为两步过程*。

1. 将输入图像的每一列与内核的垂直投影进行卷积以创建中间图像。
2. 将中间图像的每一行与内核的水平投影进行卷积。

请注意，这些步骤是可交换的（行在前，列在后产生相同的结果）。考虑示例像素：

a b c
d e f
g h i

使用您发布的内核：

    |1|                      |1 2 1|
1/4 |2| * 1/4 [1 2 1] = 1/16 |2 4 2|
    |1|                      |1 2 1|

使用 2D 内核（右侧），生成的单元格 e 为：

1/16*(a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i)

使用分离内核（左侧），首先通过垂直投影进行处理：

ai bi ci   1/4(2a+d)   1/4(2b+e)   1/4(2c+f)
di ei fi = 1/4(a+2d+g) 1/4(b+2e+h) 1/4(c+2f+i)
gi hi ii   1/4(d+2g)   1/4(e+2h)   1/4(f+2i)

接下来，通过水平投影处理...这里只看中间单元格（ei）的计算

1/16( 1*di + 2*ei + 1*fi) = 1/16(a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i)

这与 2d 内核所达到的相同。

请注意，所发布的等式的左侧和右侧在数学上是相等的 - 左侧表示为两个向量的 outer product...右侧是左侧的 multiplication 的结果。