将 Haskell 中的函数转换为无点表示法

Question

我以纸上的haskell函数为例：

function2 a b c = (a * b) + c 

我需要用无点符号来编写示例。我真的不擅长使用无点样式，因为我发现它真的很混乱，没有适当的指导，所以我试了一下：

function2 a b c = (a * b) + c
function2 a b c = ((*) a b) + c #operator sectioning
function2 a b c = (+) ((*) a b)c #operator sectioning once more
#I'm stuck here now

我不确定接下来应该出现什么，因为这是我能想到的这个例子的限制。希望能得到一些帮助。

--第二个例子：

function3 a b = a `div` (g b)
function3 a b = `div` a (g b) --operator sectioning
function3 a b = (`div` a) (g b) --parentheses
function3 a b = ((`div` a g).)b --B combinator
function3 a   = ((`div` a g).) --eta conversion
function3 a   = ((.)(`div` a g)) --operator sectioning
function3 a   = ((.)flip(`div` g a))
function3 a   = ((.)flip(`div` g).a) --B combinator
function3     = ((.)flip(`div` g)) --eta conversion (complete)

Answer 1

您可以在此处应用 B 组合符（即(f . g) x = f (g x)）：

function2 a b c = (a * b) + c
function2 a b c = ((*) a b) + c    -- operator sectioning
function2 a b c = (+) ((*) a b) c  -- operator sectioning once more
      = (+) (((*) a) b) c          -- explicit parentheses
      = ((+) . ((*) a)) b c        -- B combinator
      = ((.) (+) ((*) a)) b c      -- operator sectioning 
      = ((.) (+) . (*)) a b c      -- B combinator

确实类型是一样的：

> :t let function2 a b c = (a * b) + c in function2
let function2 a b c = (a * b) + c in function2
  :: Num a => a -> a -> a -> a

> :t ((.) (+) . (*))
((.) (+) . (*)) :: Num b => b -> b -> b -> b

我们以正确的顺序一一提取参数，最终得到

function2 a b c = (......) a b c

以便 eta-contraction 可以用来摆脱显式参数，

function2       = (......) 

我们的工具，我们可以在两个方向应用，是

S a b c  =  (a c) (b c)  =  (a <*> b) c
K a b    =  a            =  const a b
I a      =  a            =  id a
B a b c  =  a (b c)      =  (a . b) c
C a b c  =  a c b        =  flip a b c
W a b    =  a b b        =  join a b
U a      =  a a          -- not in Haskell: `join id` has no type

还有(f =<< g) x = f (g x) x = join (f . g) x。

当我们使用 pointfree 一段时间后，会出现一些其他有用的模式：

((f .) .) g x y = f (g x y)
(((f .) .) .) g x y z = f (g x y z)
.....
((. g) . f) x y = f x (g y)
((. g) . f . h) x y = f (h x) (g y)

---

（更新。）在您的第二个示例中，开始附近有一个错误，使其之后的所有以下步骤无效：

function3 a b = a `div` (g b)
function3 a b = -- `div` a (g b)     -- wrong syntax, you meant
                div a (g b)
function3 a b = -- (`div` a) (g b)   -- wrong; it is
                (a `div`) (g b) --operator sectioning
function3 a b = ((a `div`) . g) b --B combinator
function3 a   = (div a . g) --eta conversion; back with plain syntax
function3 a   = (.) (div a) g --operator sectioning
function3 a   = flip (.) g (div a) --definition of flip
function3 a   = (flip (.) g . div) a --B combinator
function3     = (flip (.) g . div) --eta conversion
              = (.) (flip (.) g) div  --operator section

是的，有些步骤是朝着正确的方向。

Answer 2

我们可以继续：

function2 a b = (+) ((*) a b)     [eta-reduction]
function2 a = (+) . (*) a         [using a dot, to eliminate the b]
function2 = ((.) . (.)) (+) (*)   ["blackbird" operator to pass two parameters]

这里的"blackbird operator" 是三个(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c 运算符的组合。它在功能上等同于：

((.) . (.)) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d
((.) . (.)) f g x y = f (g x y)

在此处查看derivation。