sympy 如何将 ln((exp(x)+1)/exp(x)) 简化为 log(1+exp(-x))？

Question

如果我在 sympy 中使用 simplify() 函数，log((exp(x)+1)/exp(x)) 会简化为 log(1+exp(-x))，但是，当我阅读文档时，简化函数“可能会不必要地慢”，我尝试了其他简化方法，但不是它们中的一个有效，所以我想知道如何在不调用 simple() 的情况下将 ln((exp(x)+1)/exp(x)) 简化为 log(1+exp(-x)) 这样的形式。

Answer 1

您要使用的确切函数取决于您正在处理的表达式的一般形式。 cancel 显然有效，但也许只是偶然。一般来说，cancel 会取消分子和分母的公因数，例如 cancel((x**2 - 1)/(x - 1)) -> x + 1。我认为它只在这里工作，因为它代表了exp(-x) 的表达式。如果它改为使用exp(x)，它不会简化，因为(x + 1)/x 没有任何公因数。这可能就是您在不同版本中看到来自 cancel 的不同结果的原因。请参阅this issue 了解更多信息。

对于这个表达式，我会使用 expand()（或者更有针对性的 expand_mul）。 expand 将分母分配给分子，即(exp(x) + 1)/exp(x) 将变为exp(x)/exp(x) + 1/exp(x)。 SymPy 然后自动将exp(x)/exp(x) 取消为1 并将1/exp(x) 转换为exp(-x)（它们在内部都以相同的方式表示）。

In [1]: log((exp(x)+1)/exp(x)).expand()
Out[1]:
   ⎛     -x⎞
log⎝1 + ℯ  ⎠

tutorial 中有一些简化函数的指南。

Answer 2

您可以更直接地使用sympy.polys.polytools.cancel()，它可以作为.cancel() 表达式的方法使用。

>>> from sympy.abc import x
>>> from sympy import *
>>> my_expr = log((exp(x)+1)/exp(x))
>>> my_expr.cancel()
log(1 + exp(-x))

这就是在simplify() 中简化表达式的工作。

一个非常幼稚的基准：

>>> import timeit
>>> %timeit my_expr.simplify()
100 loops, best of 3: 7.78 ms per loop
>>> %timeit my_expr.cancel()
1000 loops, best of 3: 972 µs per loop

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编辑：这不是一个稳定的解决方案，我建议您查看asmeurer's answer，他建议使用expand()。