是否将数组分成两半，总和 P 或 NP 相等？答案

【问题标题】：Is partitioning an array into halves with equal sums P or NP?是否将数组分成两半，总和 P 或 NP 相等？
【发布时间】：2016-07-19 01:51:26
【问题描述】：

这是一道关于分区问题的算法面试题。

给你一个数组，包含包含 0 到 5 位数字的数字。编写一个函数，返回数组是否可以分割分成两半，这样的总和两半是相等的。

这是一个NP问题还是可以通过动态规划来解决？

“0 到 5 位之间”我认为是 0 ~ 99999。

我在 SO here 之外找到了一个很好的答案。

【问题讨论】：

两半必须是连续的吗？还是只是一些任意分区？
@Gumbo♦ 我认为它可以是任意的

标签： algorithm complexity-theory dynamic-programming

【解决方案1】：

这显然是 NP - 可以在多项式时间内验证解决方案。

但是它不是 NP 完全的，因为元素是有界的（0 到 5 位范围之间的数字）。

已知问题会经历“相变”，对于 m / n

【讨论】：

【解决方案2】：

面试题的设计不仅是为了测试问题的解决能力，也是为了分析问题。所以这个问题不够具体。

我可以选择任意两个元素子集，或者它们必须是一致的部分吗？在第一种情况下，问题是 NP-Complete（有关更多信息，请参阅 http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem），在第二种情况下，它当然是微不足道的（面试问题通常以微不足道的编程任务结束）。

如果一般问题是 NP-Complete，也许我们可以尝试专门化它？我们对数组了解多少？也许我们可以通过一些外部假设来简化问题？

我认为这是处理此类问题的方式，也是面试官所希望的。

更新：对于指定的数字范围，该问题相当于离散背包问题（背包的大小限制为整个数组和大小为 100000 的权重集合之和的一半，也就是说，我们可以解决它准时）有关背包问题的更多信息，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem。

【讨论】：

【解决方案3】：

两者兼而有之。问题在于 NP，我很确定它可以通过动态规划在伪多项式时间内解决。

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem

一般问题是 NP 完全的，可以通过动态规划在伪多项式时间内求解。 T

这种对 0-5 位数字的特定限制可能不是 NP 完全的。到底什么是 0 位数字？

通常对于分区问题，不要求分区大小相等，只要它们具有相等的总和即可。但是这里你说“分为 2 个一半”，我不确定“一半”是指数组的一半，还是仅仅表示总数的一半。

我猜这种差异，如果是差异的话，可能不会影响 DP 解决方案的复杂性，但我不确定。除了“嗯，是的，看起来像你可以用 DP 做的那种事情，我必须考虑一下”之外，我没有任何一种直接的证据。

【讨论】：

0 到 5 位的范围我认为是 0 到 99999。

【解决方案4】：

没错，如果集合的数量是有界的，那么问题就是多项式复杂度。

您可以使用 bin 搜索技术。

阅读 Partition_Problem 的 wikipage，然后，在开始时，您会发现对 Subset_Sum_Problem 的引用，它几乎是等价的。您还应该找到有意义的阅读该 wiki 页面

【讨论】：

【解决方案5】：

你可以使这个算法适应分区问题，不需要很多修改。

求解和子集NP-完全问题的线性算法纯Python实现

https://github.com/maxtuno/Universal/blob/master/linear_sum_subset_algorithm_oscar_riveros.py

#!/usr/bin/env python3

__author__ = "O. A. Riveros"
__copyright__ = "Copyright 2014, O. A. Riveros, All right reserved"
__license__ = "MIT"
__email__ = "oscar.riveros@gmail.com"

"""
O. A. Riveros
http://independent.academia.edu/oarr
http://twitter.com/maxtuno
"""

"""
first 100 primes
"""
data = [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541]

solution = [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

"""
for custom entertainment
solution = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
"""

target = sum([data[i] for i in range(len(solution)) if solution[i] == 1])

l = len(data)

size = len('{0:b}'.format(sum(data)))

def rotate(l,n):
    return l[n:] + l[:n]

def slice(l, n):
    return list(int(l[i:i+n], 2) for i in range(0, len(l), n))

data_second_order = []
for i in range(l):
    data_second_order += rotate(data, i)

T = 0
for i in range(l):
    T += int(''.join('{0:b}'.format(k).zfill(size) for k in rotate(data_second_order, i)), 2)
    t = slice('{0:b}'.format(T).zfill(size*(l**2)), size)
    if (target in t):
        '''
        for review the results
        print('The target {} found in {} steps from {}.'.format(target, i + 1, t))
        '''
        print('The target {} found in {} steps'.format(target, i + 1))
        break

"""
The target 24133 found in 100 steps
"""

【讨论】：