MATLAB中的广义特征向量？

Question

在使用单个或至少很少的命令的特征值的高度多重性的情况下，有没有办法获得广义特征向量？如果每个特征值的多重性为 1，我可以使用 [V,D] = eig(A)，但此命令不适用于多个特征值。

Answer 1

根据 Matlab 文档，[V,D] = eig(A,B) 产生一个广义特征值的对角矩阵 D 和一个完整矩阵 V，其列是相应的特征向量，因此 A*V = B*V*D

这里举个例子如何自己做...首先我们输入一个样本矩阵A：

 A = [ 35  -12   4   30 ;
       22   -8   3   19 ;
      -10    3   0   -9 ;
      -27    9  -3  -23 ]; 

然后我们探索它的特征多项式、特征值和特征向量。

 poly(A) 
 ans = 
     1.0000   -4.0000    6.0000   -4.0000    1.0000 

这些是特征多项式的系数，因此是 (λ − 1)^4 那么

 [V, D] = eigensys(A) 
 V = 
 [ 1, 0] 
 [ 0, 1] 
 [-1, 3] 
 [-1, 0] 


 D = 
 [1] 
 [1] 
 [1] 
 [1] 

因此 MATLAB 只找到两个独立的特征向量

 w1 = [1  0  -1  -1]';     
 w2 = [0  1   3   0]'; 

与单一多重性 4 特征值 λ=1 相关，因此具有缺陷 2。
所以我们建立了4x4单位矩阵和矩阵B=A-λI

  Id = eye(4);        
  B = A - L*Id; 

当L=1时，当我们计算B^2和B^3时

  B2 = B*B      
  B3 = B2*B 

我们发现B2≠0，但B3 = 0，所以应该有一个长度为3的链与
特征值 λ = 1 。选择第一个广义特征向量

 u1 = [1  0  0  0]'; 

我们计算进一步的广义特征向量

 u2 = B*u1 
 u2 = 
     34 
     22 
    -10 
    -27 

和

 u3 = B*u2 
 u3 = 
     42 
      7 
    -21 
    -42 

因此我们根据（普通）找到了长度为 3 的链 {u3, u2, u1} 特征向量 u3。 （为了协调这个结果与 MATLAB 的 eigensys 计算，您 可以检查 u3-42w1=7w2)