在 Matlab 中以数值方式查找广义特征向量答案

【问题标题】：Finding generalized eigenvectors numerically in Matlab在 Matlab 中以数值方式查找广义特征向量
【发布时间】：2013-09-03 20:57:06
【问题描述】：

我有一个像这个例子这样的矩阵（我的实际矩阵可能要大得多）

A = [-1 -2   -0.5;
      0  0.5  0;
      0  0   -1];

只有两个线性无关的特征值（特征值 -1 重复）。我想通过generalized eigenvectors 获得完整的基础。我知道如何做到这一点的一种方法是使用符号数学工具箱中的 Matlab 的 jordan 函数，但我更喜欢为数字输入设计的东西（实际上，有两个输出，jordan 对于大型矩阵失败：“MuPAD 中的错误命令：相似度矩阵太大。”）。我不需要 Jordan 规范形式，它在数字上下文中是出了名的不稳定，只需要一个广义特征向量的矩阵。是否有一个函数或函数组合可以以数值稳定的方式自动执行此操作，或者必须使用the generic manual method（这样的过程有多稳定）？

注意：“广义特征向量”是指一个非零向量，可用于增强所谓的defective matrix 的不完全基。我并不是指与使用eig 或qz 求解generalized eigenvalue problem 获得的特征值相对应的特征向量（尽管后一种用法很常见，但我认为最好避免使用）。除非有人能纠正我，否则我不相信两者是相同的。

更新 1 - 五个月后：

请参阅my answer here，了解如何以符号方式为大于 82×82 的矩阵获取广义特征向量（此问题中我的测试矩阵的限制）。

我仍然对数字方案感兴趣（或者如果这些方案都与计算 Jordan 形式有关，那么这些方案可能会变得不稳定）。我不希望盲目地实现已被标记为该问题重复的线性代数 101 方法，因为它不是数值算法，而是用于评估学生的纸笔方法（我想它可以实现然而，象征性地）。如果有人能指出该方案的实现或数值分析，我会对此感兴趣。

更新 2 - 2015 年 2 月：以上所有内容在 R2014b 中测试仍然正确。

【问题讨论】：

@natan：那么我建议你将此问题标记为重复。
@natan：是的，我看到了那个问题/答案。它不是重复的。它基本上是一个手动程序，可以复制许多教科书和维基百科中显示的内容。我自己知道如何获得广义特征值 - 我正在寻找更独立的东西，并且使用内置例程来小心数字问题。你知道什么或任何算法吗？此外，仅供参考，eigensys 在 R2013a 中不再存在，eig(sym(A)) 必须使用。
@DavidHeffernan：对于特定的测试矩阵，错误恰好出现在 83×83 处。
@DavidHeffernan：就我感兴趣的最终尺寸而言，这些矩阵代表了动态神经网络节点的行为，因此系统可以轻松拥有 100 多个维度。这些矩阵，雅可比矩阵，非常稀疏，所以最好有一种可以利用它的方法。
@reverse_engineer：是的，据我所知，Jordan 形式没有数值稳定的算法。但是，我对 Jordan 形式本身并不感兴趣，它只是一种直接获得广义特征值的稳定方法，这样我就可以形成一个完整的基础——或者这两者是否有着千丝万缕的联系？

标签： matlab matrix eigenvector

【解决方案1】：

如我的 cmets 中所述，如果您的矩阵有缺陷，但您知道在给定容差的情况下您想将哪个特征向量/特征值对视为相同，您可以按照以下示例继续：

% example matrix A:
A = [1 0 0 0 0; 
     3 1 0 0 0; 
     6 3 2 0 0; 
     10 6 3 2 0;
     15 10 6 3 2]
% Produce eigenvalues and eigenvectors (not generalized ones)
[vecs,vals] = eig(A)

这应该输出：

vecs =

     0         0         0         0    0.0000
     0         0         0    0.2236   -0.2236
     0         0    0.0000   -0.6708    0.6708
     0    0.0000   -0.0000    0.6708   -0.6708
1.0000   -1.0000    1.0000   -0.2236    0.2236


vals =

 2     0     0     0     0
 0     2     0     0     0
 0     0     2     0     0
 0     0     0     1     0
 0     0     0     0     1

我们看到前三个特征向量与工作精度几乎相同，最后两个特征向量也是如此。在这里，您必须知道问题的结构并确定相同特征值的相同特征向量。在这里，特征值是完全相同的，所以我们知道要考虑哪些，我们将假设对应的向量 1-2-3 是相同的，向量 4-5 是相同的。（在实践中，您可能会检查特征向量差异的范数并将其与您的容差进行比较）

现在我们继续计算广义特征向量，但这不适用于简单地用 matlab 的\ 解决，因为显然(A - lambda*I) 不是满秩。所以我们使用伪逆：

genvec21 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*vecs(:,1);
genvec22 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*genvec21;
genvec1 = pinv(A - vals(4,4)*eye(size(A)))*vecs(:,4);

应该给：

哪些是我们的其他广义特征向量。如果我们现在检查这些以获得这样的乔丹范式：

jordanJ = [vecs(:,1) genvec21 genvec22 vecs(:,4) genvec1];
jordanJ^-1*A*jordanJ

我们得到：

ans =

2.0000    1.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000
     0    2.0000    1.0000   -0.0000   -0.0000
     0    0.0000    2.0000    0.0000   -0.0000
     0    0.0000    0.0000    1.0000    1.0000
     0    0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

这是我们的 Jordan 范式（存在工作精度误差）。

【讨论】：

我不确定这在数值上如何稳定？它看起来是寻找广义特征值的基本方法的一种形式。对于具有许多重复特征值的任何相当大的矩阵，可以有效地将pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A))) 与自身相乘很多次。
我确实喜欢以某种方式利用结构的想法——至少在某些情况下是这样，但这似乎不像你在这里所做的那样。似乎可以为my example here 设计类似的东西，它只有两个唯一的特征值，一个被重复 N-1 次。在某些情况下，置换/移动特征向量值可能会起作用吗？
@horchler 嗯，是的，如果一个特征值重复很多次，这种乘法可能会不稳定，但我怀疑这在实践中很少见，不?...我认为您只需要一种计算广义特征向量的非符号方式，这确实是直接的方式。但是我现在读的越多（可能没有你读的那么多），越明显地避免了这个问题，而是使用了像 Schur 这样的替代方案。互联网上关于这方面的信息很少……祝你的研究好运！