掷骰子后获得特定总和的概率。红宝石

Question

用n个骰子找到滚动和的概率的最佳解决方案是什么？ 我正在通过查找来解决它

1. 意思。
2. 标准偏差。
3. z_score 下面的数字x
4. 上述数字的z_score x
5. 将两者都转换为概率
6. 从另一个中减去一个

这是我到目前为止所做的。

# sides - number of sides on one die
def get_mean(sides)
  (1..sides).inject(:+) / sides.to_f
end

def get_variance(sides)
  mean_of_squares = ((1..sides).inject {|sum, side| sum + side ** 2}) / sides.to_f
  square_mean = get_mean(sides) ** 2

  mean_of_squares - square_mean
end

def get_sigma(variance)
  variance ** 0.5
end

# x - the number of points in question
def get_z_score(x, mean, sigma)
  (x - mean) / sigma.to_f
end

# Converts z_score to probability
def z_to_probability(z)
  return 0 if z < -6.5
  return 1 if z > 6.5

  fact_k = 1
  sum = 0
  term = 1
  k = 0

  loop_stop = Math.exp(-23)
  while term.abs > loop_stop do
    term = 0.3989422804 * ((-1)**k) * (z**k) / (2*k+1) / (2**k) * (z**(k+1)) / fact_k
    sum += term
    k += 1
    fact_k *= k
  end

  sum += 0.5
  1 - sum
end

# Calculate probability of getting 'х' total points by rolling 'n' dice with 'sides' number of sides.
def probability_of_sum(x, n, sides=6)

  mean = n * get_mean(sides)
  variance = get_variance(sides)
  sigma = get_sigma(n * variance)

  # Rolling below the sum
  z1 = get_z_score(x, mean, sigma)
  prob_1 = z_to_probability(z1)

  # Rolling above the sum
  z2 = get_z_score(x+1, mean, sigma)
  prob_2 = z_to_probability(z2)

  prob_1 - prob_2
end

# Run probability for 100 dice
puts probability_of_sum(400, 100)

我担心的是，当我选择x = 200时，概率为0。 这是正确的解决方案吗？

Answer 1

有一个涉及二项式系数的交替和的精确解。我已经在几个地方（Quora 和MSE）写出来了，尽管有一些有缺陷的版本，你可以在其他地方找到它。请注意，如果您实现它，您可能需要取消比最终结果大得多的二项式系数，并且如果您使用浮点运算，您可能会失去太多的精度。

Neil Slater 建议使用动态规划来计算卷积是一个很好的建议。它比二项式系数的总和慢，但相当稳健。您可以通过几种方式加速它，例如使用平方乘幂和使用快速傅里叶变换，但很多人会发现这些方法太过分了。

要修正您的方法，您应该对正态近似值使用（简单）连续性校正，并限制在您有足够的骰子并且您正在评估的最大值和最小值与您期望正态近似值的距离足够远的情况下是好的，无论是绝对的还是相对的。连续性校正是将 n 的计数替换为从 n-1/2 到 n+1/2 的区间。

总共滚动 200 的方式数的确切计数是 7745954278770349845682110174816333221135826585518841002760，所以概率是除以 6^100，大约是 1.18563 x 10^-20。

简单连续性校正的正态近似为 Phi((200.5-350)/sqrt(3500/12))-Phi((199.5-350)/sqrt(3500/12)) = 4.2 x 10^-19 .这在绝对意义上是准确的，因为它非常接近于 0，但它偏离了 35 倍，因此相对而言并不是很好。法线近似给出了更接近中心的更好的相对近似。

Answer 2

将两个独立概率分布的结果相加与convolving这两个分布相同。如果分布是离散的，那么它是一个离散卷积。

所以如果单个骰子表示为：

probs_1d6 = Array.new(6) { Rational(1,6) }

那么2d6可以这样计算：

probs_2d6 = []
probs_1d6.each_with_index do |prob_a,i_a|  
  probs_1d6.each_with_index do |prob_b,i_b| 
    probs_2d6[i_a + i_b] = ( probs_2d6[i_a + i_b] || 0 ) + prob_a * prob_b
  end
end

probs_2d6
# =>  [(1/36), (1/18), (1/12), (1/9), (5/36), (1/6), 
#      (5/36), (1/9), (1/12), (1/18), (1/36)]

虽然这对于骰子的边是 n 平方的，并且完全逻辑组合可以减少这种情况，但对于更复杂的设置，这样做通常不太灵活。这种方法的好处是您可以继续添加更多骰子并进行其他更奇特的组合。例如，要获得 4d6，您可以对 2d6 的两个结果进行卷积。使用有理数可以避免浮点精度问题。

我跳过了一个细节，您确实需要存储初始偏移量（对于普通的六面模具为 +1）并将其加在一起，以便知道概率匹配。

我在gem games_dice 中制作了这个逻辑的更复杂版本，使用浮点而不是 Rational，它可以处理其他一些骰子组合。

以下是使用上述方法以一种幼稚的方式对您的方法进行基本重写（简单地一次组合一个骰子的效果）：

def probability_of_sum(x, n, sides=6)
  return 0 if x < n
  single_die_probs = Array.new(sides) { Rational(1,sides) }

  combined_probs = [1] # Represents chance of getting 0 when rolling 0 dice :-)

  # This is not the most efficient way to do this, but easier to understand
  n.times do
    start_probs = combined_probs
    combined_probs = []
    start_probs.each_with_index do |prob_a,i_a|  
        single_die_probs.each_with_index do |prob_b,i_b| 
          combined_probs[i_a + i_b] = ( combined_probs[i_a + i_b] || 0 ) + prob_a * prob_b
        end
    end
  end

  combined_probs[ x - n ] || 0
end

puts probability_of_sum(400, 100).to_f
# => 0.0003172139126369326

注意这个方法实际上是计算100-600的全概率分布，所以你只需要调用一次并存储一次数组（加上偏移+100），你可以做其他有用的事情比如得到概率大于某个数。由于在 Ruby 中使用了Rational 数字，所有这些都具有完美的精度。

因为在您的情况下，您只有一种骰子，我们可以避免使用 Rational 直到最后，只使用整数（基本上是组合值的计数），然后除以组合总数（边卷数的幂）。这要快得多，并且在一秒钟内返回 100 个骰子的值：

def probability_of_sum(x, n, sides=6)
  return 0 if x < n
  combined_probs = [1] # Represents chance of getting 0 when rolling 0 dice :-)

  n.times do
    start_probs = combined_probs
    combined_probs = []
    start_probs.each_with_index do |prob_a,i_a|  
        sides.times do |i_b| 
          combined_probs[i_a + i_b] = ( combined_probs[i_a + i_b] || 0 ) + prob_a
        end
    end
  end

  Rational( combined_probs[ x - n ] || 0, sides ** n )
end

Answer 3

这是我的最终版本。

1. 将get_z_score 中的总和偏移量分别更改为x-0.5 和x+0.5，以获得更精确的结果。
2. 添加了return 0 if x < n || x > n * sides 以涵盖情况，其中总和小于骰子数，大于骰子数乘以面数。
3. 添加了带有结果的基准测试

主要功能

# sides - number of sides on one die
def get_mean(sides)
  (1..sides).inject(:+) / sides.to_f
end

def get_variance(sides)
  mean_of_squares = ((1..sides).inject {|sum, side| sum + side ** 2}) / sides.to_f
  square_mean = get_mean(sides) ** 2

  mean_of_squares - square_mean
end

def get_sigma(variance)
  variance ** 0.5
end

# x - the number of points in question
def get_z_score(x, mean, sigma)
  (x - mean) / sigma.to_f
end

# Converts z_score to probability
def z_to_probability(z)
  return 0 if z < -6.5
  return 1 if z > 6.5

  fact_k = 1
  sum = 0
  term = 1
  k = 0

  loop_stop = Math.exp(-23)
  while term.abs > loop_stop do
    term = 0.3989422804 * ((-1)**k) * (z**k) / (2*k+1) / (2**k) * (z**(k+1)) / fact_k
    sum += term
    k += 1
    fact_k *= k
  end

  sum += 0.5
  1 - sum
end

# Calculate probability of getting 'х' total points by rolling 'n' dice with 'sides' number of sides.
def probability_of_sum(x, n, sides=6)
  return 0 if x < n || x > n * sides

  mean = n * get_mean(sides)
  variance = get_variance(sides)
  sigma = get_sigma(n * variance)

  # Rolling below the sum
  z1 = get_z_score(x-0.5, mean, sigma)
  prob_1 = z_to_probability(z1)

  # Rolling above the sum
  z2 = get_z_score(x+0.5, mean, sigma)
  prob_2 = z_to_probability(z2)

  prob_1 - prob_2
end

基准测试

require 'benchmark'

Benchmark.bm do |x|
  x.report { @prob = probability_of_sum(350, 100).to_f }
  puts "\tWith x = 350 and n = 100:"
  puts "\tProbability: #{@prob}"
end
puts

Benchmark.bm do |x|
  x.report { @prob = probability_of_sum(400, 100).to_f }
  puts "\tWith x = 400 and n = 100:"
  puts "\tProbability: #{@prob}"
end
puts

Benchmark.bm do |x|
  x.report { @prob = probability_of_sum(1000, 300).to_f }
  puts "\tWith x = 1000 and n = 300:"
  puts "\tProbability: #{@prob}"
end

结果

       user     system      total        real
   0.000000   0.000000   0.000000 (  0.000049)
    With x = 350 and n = 100:
    Probability: 0.023356331366255034

       user     system      total        real
   0.000000   0.000000   0.000000 (  0.000049)
    With x = 400 and n = 100:
    Probability: 0.00032186531055478085

       user     system      total        real
   0.000000   0.000000   0.000000 (  0.000032)
    With x = 1000 and n = 300:
    Probability: 0.003232390001131513

Answer 4

我也用Monte Carlo的方法解决了这个问题，结果比较接近。

# x - sum of points to find probability for
# n - number of dice
# trials - number of trials
def monte_carlo(x, n, trials=10000)
  pos = 0

  trials.times do
    sum = n.times.inject(0) { |sum| sum + rand(1..6) }
    pos += 1 if sum == x
  end

  pos / trials.to_f
end

puts monte_carlo(300, 100, 30000)