如何计算两个分布卷积的 x 值？

Question

（这个问题可能适合https://stats.stackexchange.com/，但我认为这就是我在R 中计算我想要的内容的方式，这是我的问题）。

我正在尝试将多个分布添加在一起，然后查看生成的分布。我将通过一个使用正态分布随机变量p1 和p2 的简单示例来说明我的问题。

set.seed(21)
N <- 1000

p1 <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
p2 <- rnorm(N, mean = 10, sd = 1)

我们可以绘制的：

data.frame(p1, p2) %>%
  gather(key="dist", value="value") %>%
  ggplot(aes(value, color=dist)) + geom_density()

我可以使用convolve 将这些分布添加在一起。好的，没关系。但我想不通的是如何用适当的 x 值绘制分布的总和。在我看到的示例中，看起来 x 值是手动添加的，由于缺乏更好的工作，这种方式似乎并不“准确”。看到这个Example。

我可以将它们“添加”在一起并绘制：

pdf.c <- convolve(pdf1.y, pdf2.y, type = "open")

plot(pdf.c, type="l")

我的问题是如何得到新分布对应的 x 值。从基础统计的角度来看，我确定我遗漏了一些东西。

pdf1 和 pdf2 的附录：

set.seed(21)
N <- 1000

p1 <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
p2 <- rnorm(N, mean = 10, sd = 1)

pdf1.x <- density(p1)$x
pdf2.x <- density(p2)$x

pdf1.y <- density(p1)$y / sum(density(p1)$y)
pdf2.y <- density(p2)$y / sum(density(p2)$y)

df1 <- data.frame(pdf.x = pdf1.x, pdf.y = pdf1.y, dist = "1", stringsAsFactors = FALSE)
df2 <- data.frame(pdf.x = pdf2.x, pdf.y = pdf2.y, dist = "2", stringsAsFactors = FALSE)

df <- bind_rows(df1, df2)

Answer 1

假设 p1 和 p2 是均匀离散的，连续 x 值之间的间隔 dx 相同。 （我看到你已经在随机点离散化 p1 和 p2 ——这不一样，而且，不用多想，我没有答案。）让 x1 = x1_0 + (k - 1)乘以 dx, k = 1, 2, 3, ..., n1 是 p1 被离散化的点，并且 x2 = x2_0 + (k - 1) 乘以 dx, k = 1, 2, 3, ..., n2 是 p2 被离散化的点。

每个点 xi_k = xi_0 + (k - 1) × dx 表示一个条的中心点，它的宽度为 dx，高度为 pi(xi_k)，i = 1, 2。因此，条的质量是 dx 乘以 pi (xi_k)，当 dx 接近 0 时，所有条形的总质量接近 1。这些质量是经过卷积的值。如果将离散化后的质量归一化为 1，那么它们的卷积也将归一化为 1。

要非常小心，分布离散化的范围是 xi_0 - dx/2 到 xi_0 + (ni - 1) 乘以 dx + dx/2。计算卷积后，结果的范围同样是 -dx/2 和 +dx/2 分别是第一个点和最后一个点。

卷积有n = n1 + n2 - 1个点，即x1_0 + x2_0 + (k - 1)乘以dx，k = 1, 2, 3, ..., n1 + n2 - 1。第一个点是x1_0 + x2_0（即 p1 的第一个点加上 p2 的第一个点），最后一个点是 x1_0 + x2_0 + (n1 + n2 - 2) 乘以 dx = (x1_0 + (n1 - 1) 乘以 dx) + (x2_0 + ( n2 - 1) 乘以 dx)（即 p1 的最后一点加上 p2 的最后一点）。由此，您可以通过seq 函数或类似的方法构造对应于卷积的 x 值。