numpy einsum() 可以在轨迹段之间执行叉积吗

Question

我使用以下脚本对轨迹的连续段（xy 坐标）进行叉积：

In [129]:
def func1(xy, s):
    size = xy.shape[0]-2*s
    out = np.zeros(size)
    for i in range(size):
        p1, p2 = xy[i], xy[i+s]     #segment 1
        p3, p4 = xy[i+s], xy[i+2*s] #segment 2
       out[i] = np.cross(p1-p2, p4-p3)
    return out

def func2(xy, s):
    size = xy.shape[0]-2*s
    p1 = xy[0:size]
    p2 = xy[s:size+s]
    p3 = p2
    p4 = xy[2*s:size+2*s]

    tmp1 = p1-p2
    tmp2 = p4-p3
    return tmp1[:, 0] * tmp2[:, 1] - tmp2[:, 0] * tmp1[:, 1]


In [136]:
xy = np.array([[1,2],[2,3],[3,4],[5,6],[7,8],[2,4],[5,2],[9,9],[1,1]])
func2(xy, 2)

Out[136]:
array([ 0, -3, 16,  1, 22])

由于内部循环，func1 特别慢，所以我自己重写了叉积（func2），速度快了几个数量级。

是否可以使用 numpy einsum 函数进行相同的计算？

Answer 1

einsum 仅计算乘积之和，但您可以通过反转 tmp2 的列并更改第一列的符号来将叉积硬塞为乘积之和：

def func3(xy, s):
    size = xy.shape[0]-2*s
    tmp1 = xy[0:size] - xy[s:size+s]
    tmp2 = xy[2*s:size+2*s] - xy[s:size+s]
    tmp2 = tmp2[:, ::-1]
    tmp2[:, 0] *= -1
    return np.einsum('ij,ij->i', tmp1, tmp2)

---

但是func3 比func2 慢。

In [80]: xy = np.tile(xy, (1000, 1))

In [104]: %timeit func1(xy, 2)
10 loops, best of 3: 67.5 ms per loop

In [105]: %timeit func2(xy, 2)
10000 loops, best of 3: 73.2 µs per loop

In [106]: %timeit func3(xy, 2)
10000 loops, best of 3: 108 µs per loop

完整性检查：

In [86]: np.allclose(func1(xy, 2), func3(xy, 2))
Out[86]: True

我认为 func2 在这里击败 einsum 的原因是因为与手动写出总和相比，在 einsum 中设置循环仅 2 次迭代的成本太高了，而且反向和倍增也会消耗一些时间。

Answer 2

np.cross 是一只聪明的小野兽，它可以毫无问题地处理广播。因此，您可以将您的func2 重写为：

def func2(xy, s):
    size = xy.shape[0]-2*s
    p1 = xy[0:size]
    p2 = xy[s:size+s]
    p3 = p2
    p4 = xy[2*s:size+2*s]
    return np.cross(p1-p2, p4-p3)

它会产生正确的结果：

>>> func2(xy, 2)
array([ 0, -3, 16,  1, 22])

在最新的 numpy 中，它的运行速度可能比您的代码快一点，因为它被重写以最小化中间数组的创建。可以看源码（纯Python）here。