通过 numpy einsum 计算外积

Question

我正在尝试深入研究einsum 符号。这个question and answers对我帮助很大。

但现在我在计算外积时无法掌握einsum的机制：

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
np.einsum('i,j->ij', x, y)

array([[ 4.,  5.,  6.],
        [ 8., 10., 12.],
        [12., 15., 18.]])

answer 给出了以下规则：

通过在两个输入数组中重复标签 i，我们告诉 einsum 这两个轴应该相乘。

如果我们没有在 np.einsum('i,j->ij', x, y) 中提供任何重复的轴标签，我无法理解这种乘法是如何发生的？

您能否给出np.einsum 在此示例中采取的步骤？

或者更广泛的问题，einsum 在没有给出匹配的轴标签时如何工作？

Answer 1

在np.einsum('i,j->ij', x, y) 的输出中，元素[i,j] 只是x 中的元素i 和y 中的元素j 的乘积。换句话说，np.einsum('i,j->ij', x, y)[i,j] = x[i]*y[j]。

比较它与np.einsum('i,i->i', x, y) 是元素i 的输出是x[i]*y[i]：

np.einsum('i,i->i', x, y)

[ 4 10 18]

如果输入中的标签在输出中丢失，则意味着输出已计算出沿丢失标签轴的总和。这是一个简单的例子：

np.einsum('i,j->i', x, y)

[15 30 45]

这里输入中的标签j在输出中缺失，相当于沿axis=1求和（对应标签j）：

np.sum(np.einsum('i,j->ij', x, y), axis=1)

[15 30 45]

Answer 2

一般来说，你可以通过准确地知道输入和输出的维度或形状来理解 einsum 符号是预期和计算的。

为了方便解释，假设 x.shape = [3] , y.shape = [4]

x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6, 7])
np.einsum('i,j->ij', x, y)
array([[ 4,  5,  6,  7],
       [ 8, 10, 12, 14],
       [12, 15, 18, 21]])

维度

对于叉积np.einsum('i,j->ij', x, y)，第一个输入是单个字符i。您可以认为字符数是该输入的维度数。所以这里第一个输入x 只有一维。 j 同样，第二个输入也只是一个字符j，所以它只有一维。最后输出ij有2个字符，所以它有2个维度，那个维度必须是[3,4]，因为第一个输入中的元素数是i，它有3个元素，第二个元素的数量输入是 j，它有 4 个元素。

结果数组中的每个元素

然后，您将关注结果符号ij。现在我们知道它是一个二维数组，或者是一个 3 x 4 矩阵，ij 正在讨论 ONE 元素是如何在i 行j 列的位置计算的。元素必须从输入的乘积中计算出来。这意味着位置 [i,j] 上的特定元素是其位置 i 的输入 a 和其位置 j 的输入 b 的乘积

因此，位置 [0,0] 上的元素是通过取第一个输入位置 0（即您的 x[0] = 1）和第二个输入位置 [0] 计算得出的是 y[0] = 4，即 ONE 元素 [0,0] = 1 * 4 = 4 的结果。

同样，结果位置 [2,3] 上的元素采用 x[2] 和 y[3] = 3 * 7 = 21

简而言之，认为i,j->ij 的ij 是i 乘以j 的2 维结果的一个元素（因为2 个字符）。您从输入i 和输入j 获取的实际元素是根据ij 的位置索引

可以在一行中找到外积的转置

也就是说，外积的转置就是i,j->ji。在这里，我们的结果中有两个字符，所以它是一个二维数组。第一个维度的元素个数必须是j，因为它在前。它是第二个输入，有 4 个元素。第 2 维的逻辑相同，因此我们知道结果数组是 (4,3) 的形状。

那么，结果二维数组[3,2]位置的ONE元素为ji，即输入j乘以输入i，所以它是j的元素3 = y[3] = 7 ，i 的元素 2 = x[2] = 3. 结果是 7 * 3 = 21

因此，结果是

np.einsum('i,j->ji', x, y)
array([[ 4,  8, 12],
       [ 5, 10, 15],
       [ 6, 12, 18],
       [ 7, 14, 21]])