有序图中的最长路径

Question

令 G = (V, E) 是一个有向图，节点为 v_1, v_2,..., v_n。如果 G 具有以下性质，则称 G 是有序图。

• 每条边从索引较低的节点到索引较高的节点。也就是说，每条有向边都具有 (v_i, v_j) 的形式，其中 i
• 除 v_n 之外的每个节点都至少有一条边离开它。也就是说，对于每个节点 v_i，至少有一个形式为 (v_i, v_j) 的边。

给出一个有效的算法，它采用有序图 G 并返回从 v_1 开始到 v_n 结束的最长路径的长度。

如果你想看漂亮的乳胶版本：here

我的尝试：

动态编程。 Opt(i) = max {Opt(j)} + 1. 对于所有 j 这样的 j 可以从 i 到达。

是否有更好的方法来做到这一点？我认为即使有了记忆，我的算法仍然是指数级的。 （这只是我在网上找到的一个旧的中期评论）

Answer 1

你的方法是对的，你必须这样做

Opt(i) = max {Opt(j)} + 1} for all j such that j is reachable from i

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但是，只有在没有记忆的情况下运行它，这才是指数级的。通过记忆化，当您在节点 i 上时，您将获得每个节点 j 的记忆最优值，j > i。

对于最坏情况的复杂性，让我们假设每两个可以连接的节点都是连接的。这意味着，v_1 与(v_2, v_3, ... v_n) 相连； v_i 与 (v_(i+1), v_(i+2), ... v_n) 连接。

顶点数 (V) = n

因此，边数 (E) = n*(n+1)/2 = O(V^2)

让我们将注意力集中在顶点v_k。对于这个顶点，我们必须遍历已经导出的(n-k)节点的最优值。

直接到达v_k的方式数 = (k-1)

因此最坏情况下的时间复杂度 => sigma((k-1)*(n-k)) from k=1 to k=n，它是 2 次幂多项式的 sigma，因此将导致 O(n^3) 时间复杂度。

简单来说，最坏情况的时间复杂度是O(n^3) == O(V^3) == O(E) * O(V) == O(EV)。

Answer 2

多亏了第一个属性，这个问题可以 O(V^2) 解决，甚至可以用 O(E) 更好地解决，其中 V 是顶点数，E 是边数。实际上，它使用了动态编程方法，与您提供的方法非常相似。令 opt[i] 为 v_1 到 v_i 的最长路径的长度。那么

opt[i] = max(opt[j]) + 1 where j < i and we v_i and v_j is connected, 
                         using this equation, it can be solved in O(V^2). 

更好的是，我们可以用另一种顺序解决这个问题。

int LongestPath() {
   for (int v = 1; v <= V; ++v) opt[v] = -1;
   opt[1] = 0;
   for (int v = 1; v <= V; ++v) {
     if (opt[v] >= 0) {
     /* Each edge can be visited at most once,
        thus the runtime time is bounded by |E|.
      */ 
      for_each( v' can be reached from v) 
         opt[v'] = max(opt[v]+1, opt[v']);
    }
  }
 return opt[V];

}