IEEE 754，除以零

Question

我知道在标准 IEEE 754 中除以零是允许的。我想知道它是如何用二进制表示的。

例如，十进制的 0.25 是 0 01111101 00000000000000000000000 在二进制。 5.0/0.0 或 0.0/0.0 它们在二进制中有表示吗，它们是一样的吗？ 谢谢。

Answer 1

当你将一个有限数除以零时，你会得到一个无穷大，它带有你试图除的数字的符号。所以 5.0/0.0 是 +inf 但 0.0/0.0 返回一个称为 QNaN 不定值的东西。

假设我们将负一除以零。因为这会导致预先计算的异常，我认为理解发生了什么的关键在于英特尔在第 4.9.1.2 节中使用的“响应”措辞

被零除异常的掩码响应是设置 ZE 标志并返回一个用操作数符号的异或符号表示的无穷大。

我希望我没看错。由于零掩码位（在 x87 FPU 的控制字中找到）为 1，因此一旦 fpu 在用于除法的操作数中检测到零，预计算的异常标志就会置位。现在处理器知道要做这样的事情了：

操作数 1 的 1 个符号，我们的 -1.0 xor 0 操作数 2 的符号，零 ---------- 1 条回复

现在有了那个响应位，我知道我是正无穷还是负无穷

-inf 1 11111111 00000000000000000000000 -----+-+------+-+----------+ | | | | | | +--------+ +----------+ | | | | v v |指数分数 | v 符号

如果我得到一个正数 1.0 并除以零：

0 操作数 1 的符号 xor 0 操作数 2 的符号 ------------ 0

现在我有 inf 0 11111111 00000000000000000000000

只要分子是正数并且除以零，就会得到相同的正无穷大。 这就是我想象当我运行这样的事情时会发生的事情：

int main() {
    SetExceptionMask(exAllArithmeticExceptions);    
    float a = -1;
    float b = a / 0.0f;
    printf("%f\n", b);
}

结果是-inf，看起来像这样1 11111111 00000000000000000000000

QNaN（“安静的不是数字”）对调试特别有帮助，可以通过几种不同的方式生成，但 0.0/0.0 会返回如下所示的内容：

qnan 0 11111111 100000000000000000000000 -----+-+------+-+----------+ | | +----------+ | v 分数

现在软件可以出于任何目的操纵 QNaN 小数部分中的位，通常这似乎是出于诊断目的。 要了解更多信息，我建议您阅读英特尔手册的第 31(https://youtu.be/SsDoUirLkbY) 和 33(https://youtu.be/3ZxXSUPSFaQ) 部分。

Answer 2

Mark 纠正了我在 IEEE 754-2208 中除以零会导致正无穷或负无穷。

在有关该主题的维基百科文章中，我们发现以下内容：

sign = 0 表示正无穷，1 表示负无穷。

有偏指数 = 全为 1。

分数 = 全 0 位。

来源：IEEE 754 Wikipedia article

我错误地认为它会导致 NaN，我将在下面详细说明。

+无穷大：

0 11111111 00000000000000000000000

-无穷大：

1 11111111 00000000000000000000000

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以下原始回复不正确

可能仍然是无关紧要的，因此请保留它。

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据我了解，这导致NaN，pr **不是数字*。

Nan 上的维基百科页面有一个编码部分，以下引用来自该部分。

在符合 IEEE 754 标准的浮点存储格式中，NaN 由 NaN 独有的特定预定义位模式标识。 符号位无关紧要。二进制格式的 NaN 用 用 1 填充的指数字段（如无穷大值）和一些 非零数字表示有效数（使它们与无穷大值不同）。 1985 年的原始 IEEE 754 标准 (IEEE 754-1985) 仅描述了二进制浮点格式，并没有指定如何标记信号/静默状态。在实践中，有效位的最高有效位决定了 NaN 是发信号还是静默。产生了两种不同的实现，具有相反的含义。

来源：NaN Encoding (Wikipedia)

文章还继续指出，在 2008 年，IEEE 754-2008 修订版添加了一种建议的方法来指示 NaN 应该是安静还是冗长。

NaN 通过将符号位之后的组合字段的前五位设置为 1 来标识。该字段的第六位是“is_quiet”标志。该标准遵循“is_signaling”标志的解释。 IE。如果 NaN 是安静的，则信号/安静位为零，如果通过使 aN 是信令来识别 N，则非零。

基本上和以前一样，指数都是1，最后一位表示是否安静。

我的解释是 NaN 可以用多种方式表示，包括如下：

0 11111111 00000000000000000000010