如果我们知道 x2=rho*x1,x1~N(0.127,0.053), x2~N(0.106,0.09)，如何通过 R 代码估计 cov(x1,x2)答案

【问题标题】：How to estimate cov(x1,x2) via R code, if we know x2=rho*x1,x1~N(0.127,0.053), x2~N(0.106,0.09)如果我们知道 x2=rho*x1,x1~N(0.127,0.053), x2~N(0.106,0.09)，如何通过 R 代码估计 cov(x1,x2)
【发布时间】：2020-11-05 18:13:58
【问题描述】：

我通过 rnorm() 函数生成了 x1 和 x2，对于有限的样本，估计似乎不稳定。因此，我想知道如何通过公式或模拟方法计算cov(x1,x2)。

【问题讨论】：

很抱歉，您真正的问题是什么？你想用 cov(x1,x2) 做什么？
感谢您的关注。我在差异建模中有空间差异，例如 "y=....+alpha3*DT+alpha4*weightDT" ，其中 alpha4 = alpha3*rho （平均直接治疗效果：α3；平均间接治疗效果：α4*权重）。然后我在计算 ATE Var(ATE)=Var(alpha3)+weight^2*Var(alpha4)+2*weightcov(alpha3,alpha4) 的方差时遇到了麻烦。主要是关于cov(alpha3,alpha4)的估计。问题源于文章中的等式13（sciencedirect.com/science/article/pii/S0966692318301820）
不幸的是，我无法在我的大学获得那篇论文。我假设 alpha3 是 x1 而 alpha4 是 x2？如果是这种情况，请注意您给定的 x1 和 x2 的均值和方差有问题。你可以在我的回答中看到这一点。这可能是你的“真正问题”。
感谢您的建议。您可能会假设 rho 是一个常数项。然而，在那篇论文中，rho 参数应该是一个自回归变量。我知道如何通过第二次泰勒展开来近似 E(rho) 和 Var(rho)，但是 cov(alpha3, alpha4) 的估计仍然是一个问题。

标签： r dependencies simulation covariance

【解决方案1】：

所以你有 x2 = rho * x1。 cov(x1,x2) 的定义是 E[(x1 - E[x1])(x2 - E[x2])]。因此：

cov(x1,x2) = E[(x1-E[x1])(x2-E[x2])] = E[(x1-E[x1])(rho* x1-E[rho* x1 ])] = E[(x1-E[x1])(rho*(x1-E[x1]))] = E[(x1-E[x1])(x1-E[x1])] * rho = rho * E[(x1-E[x1])^2] = rho * Var(x1)

因此 cov(x1,x2) = rho * Var(x1)。

但是，您的问题存在错误。你说 E[x1] = 0.127 和 E[x2] = 0.106，所以由于 x1 和 x2 是正态分布的，所以 rho = 0.106/0.127 Var(x1)???

你可以在这里看到：

> a = rnorm(100000, 0.127, sqrt(0.053)) #generate some samples
> b = 0.106/0.127 * a
> cov(a,b) #empirical correlation
[1] 0.04406267
> 0.106/0.127 * var(a) #expected correlation
[1] 0.04406267
> mean(a)
[1] 0.1276717
> mean(b) #mean of a and b is correct
[1] 0.1065606
> var(a)
[1] 0.05279207
> var(b) #but the variance not
[1] 0.03677672

【讨论】：

感谢您的回答。我想您可能会将 rho 参数视为一个常数项，但不幸的是，rho 参数应该是一个自进取参数（或计算为给出 x1 和 x2 的随机变量）。该问题源自文章 (sciencedirect.com/science/article/pii/S0966692318301820) 中的公式 13。
抱歉，我对自回归知之甚少。 rho 依赖于 x1 而 x2 对我来说信息不足。例如，rho=x1 或 rho=x1^2 会有所不同。我认为您应该在此站点上再次提出您的问题，但重新起草：stats.stackexchange.com。