是否有任何已知的方法可以快速有效地确定 3D 点是否位于已知大小的柏拉图体积内？
这似乎很容易用立方体（六面体）或圆形（椭圆体）来完成。我似乎无法弄清楚四面体、八面体、十二面体或二十面体。我猜有可能将形状分解成几个子实体，然后检查每个子实体，但如果可能的话，我想避免使用任何类型的迭代求解器。
【问题讨论】：
标签： c++ algorithm geometry computational-geometry
一种简单的方法是将实体表示为半空间的交集。
3d 平面有隐式方程：
ax + by + cz + d = 0
其中(a, b, c) 是平面法线，d 是平面任意点的-(a*x + b*y + c*z) 值（计算的值不会取决于您选择的点）。
对于平面一侧的空间点，a*x+ b*y + c*z + d 的结果将为负数，而另一侧的结果将为正数。
柏拉图立体（任何凸立体）可以表示为所有面的非正侧上的空间点，即
a[i]*x + b[i]*y + c[i]*z + d[i] <= 0
因此，一个相当快的测试可能是：
struct Plane {
double a, b, c, d;
};
struct Point {
double x, y, z;
};
int side(const Point pt, const Plane& pl) {
double v = pt.x*pl.a + pt.y*pl.b + pt.z*pl.c + pl.d;
if (v < -EPS) return -1;
if (v > EPS) return 1;
return 0;
}
struct ConvexSolid {
std::vector<Plane> planes;
bool contains(const Point& pt) const {
return std::all_of(planes.begin(), planes.end(),
[&](const Plane& pl){
return side(pt, pl) <= 0;
});
}
};
此外，如果您知道自己的大部分观点都在实体范围内，那么添加快速接受测试可能是个好主意。考虑中心和与面的距离......如果您的点位于以中心为中心的球体内并且具有该半径，那么肯定也在实体内。
因此，如果您预计许多点都在该范围内，那么首先检查它可能是一项不错的投资，因为它只需要检查
r2 = (x-xc)*(x-xc) + (y-yc)*(y-yc) + (z-zc)*(z-zc)
这应该比检查一架飞机的成本略高。
但是请注意，如果大多数点不在该范围内，那么进行此检查确实是一种悲观。
另一个加速方法是同时考虑边界球具有相同的中心...在这种情况下，您只能使用相同的r2 计算来进行“波段”检查，您将仅当r2 > r2min（即，如果该点不在内球体内）和r2 < r2max（即，如果该点不在外球体内）时才需要运行完整检查。
【讨论】：
如果您正在寻找优化的算法，您可以尝试检查该点是否位于实体的边界球之外，并且仅在不在时才检查表面。
【讨论】：
point in polygon 在查找 2D 点是否位于任何类型的多边形（2D 空间）内时是一个众所周知的问题。参见例如
多面体（3D）中的点问题——对于任何类型的多面体来说——相当棘手。但是，在您的情况下，您正在严格考虑 凸 多面体，因为所有柏拉图立体都是后一种类型。
在这种情况下，我可以为您指出解决此问题的两种方法。
1 ：（任何凸 polytope 的一般方法）您可以将您的问题视为查找一个点是否在一组已知点的 convex hull 内，在您的情况下，您的点是你的柏拉图立体的顶点，它们准确地描述了它们自己的凸包（由于凸性，没有“内部”顶点）。已经讨论了如何实现这个问题的一般解决方案，例如这里：
Find if a point is inside a convex hull for a set of points without computing the hull itself
一个非常优雅的解决方案是让你的多面体描述一个线性规划 (LP) 问题的可行集，并且，加上额外的等式约束 decisionVariable = myPoint（强制包含），如果点在你的多面体之外，或者是可行的，否则（不需要解决最优性，只是为了可行性）。
2 ：如上所述，多边形中的 2D 点已得到充分研究，您甚至可以找到它的 C++ 代码in the SO link I provided above。由于您正在考虑 3D 中的凸多面体，因此我们知道穿过此类多面体的 2D 平面的交点将描述凸多边形。因此，对于您要研究的每个点，您都创建了包含该点并且与多面体（您的柏拉图立体）相交的平面：剩下的问题是解决“多边形内的二维点问题”，在这架飞机上。
【讨论】：
从该点画一条线到形状之外的某个地方，并计算它通过了多少个表面。如果是奇数，点在里面，否则在外面。
QED
【讨论】：