Tiles Stacking Problem 构建稳定的堆栈

Question

我正在 GeeksForGeeks 上学习动态编程，遇到了 Tiles Stacking Problem 及其解决方法的问题

高度为 n 的稳定塔是由恰好 n 个单位高度的瓷砖组成的塔，垂直堆叠的方式是不会将较大的瓷砖放置在较小的瓷砖上。示例如下：

我们有无限数量的大小为 1、2、...、m 的图块。任务是计算可以用这些瓦片建造的高度为 n 的不同稳定塔的数量，但限制是您可以在塔中最多使用 k 个每种尺寸的瓦片。

注意：当且仅当存在高度 h (1

Input : n = 3, m = 3, k = 1.
Output : 1
Possible sequences: { 1, 2, 3}. 
Hence answer is 1.

Input : n = 3, m = 3, k = 2.
Output : 7
{1, 1, 2}, {1, 1, 3}, {1, 2, 2},
{1, 2, 3}, {1, 3, 3}, {2, 2, 3}, 
{2, 3, 3}.

解决的方法是使用从 1 到 m 的数字来计算长度为 n 的递减序列的数量，其中每个数字最多可以使用 k 次。我们可以使用 n-1 的计数递归地计算 n 的计数。

声明一个二维数组 dp[][]，其中每个状态 dp[i][j] 使用从 j 到 m 的数字表示长度为 i 的递减序列的数量。我们需要注意一个数字最多可以使用 k 次这一事实。这可以通过考虑一个数字出现 1 到 k 次来完成。因此我们的递归关系变为：

此外，我们可以使用这样一个事实，即对于固定的 j，我们使用 i 的前 k 个值的连续值。因此，我们可以为每个状态维护一个前缀和数组。现在我们已经摆脱了每个状态的 k 因子。

这个算法我已经读了很多遍了，但我不明白它以及如何证明它的准确性。我试图在互联网上找到该指南，但只有它的变体。请帮我解释一下。

Answer 1

• 请注意，最大尺寸的磁贴 (m) 只能出现在底部。
• 它的出现是连续
• 您的重复周期变为：

T(n,m,k) = SIGMA_{i=0,...,k} T(n-i,m-1,k)

• 然后您必须定义重复的基本情况：

T(n,m,1) = // can you tell what this is?
T(n,1,k) = // can you tell what this is?
T(1,m,k) = m // this is easy

Answer 2

我们可以通过形成一个逻辑递归来证明它：

(A) 如果给定 m 和 k 的最大堆栈高度小于 n，我们无法创建任何堆栈。

(B) 如果只允许一个图块，我们可以为该图块选择 m 个不同的尺寸。

(C) 如果只允许一种尺寸，如果k大于等于n，我们可以构造一叠n个尺寸为1的瓦片；否则，零堆栈。

(D) 对于每个可能堆叠的大小为 m 的图块的计数 x，我们有一种方法乘以堆叠 (n - x) 个图块的方式数，最多使用 (m - 1) 个大小) 因为我们使用了 m。

为了将递归转换为自下而上的动态规划，我们使用递归的基本情况初始化矩阵，并使用其一般情况逻辑分支填充后续条目。

这是 JavaScript 中递归的演示（抱歉，我不精通 C++，但第一个函数 f 只计算计数，应该很容易转换）：

// Returns the count
function f(n, m, k){
  if (n > m * k)
    return 0;
  
  if (n == 1)
    return m;
    
  if (m == 1)
    return n <= k ? 1 : 0;
   
  let result = 0;

  for (let x=0; x<=k; x++)
    result += f(n - x, m - 1, k);
    
  return result;
}

// Returns the sequences
function g(n, m, k){
  if (n > m * k)
    return [];
  
  if (n == 1)
    return new Array(m).fill(0).map((_, i) => [i + 1]);
    
  if (m == 1)
    return n <= k ? [new Array(n).fill(1)] : [];
   
  let result = [];

  for (let x=0; x<=k; x++){
    const pfx = new Array(x).fill(m);
    const prev = g(n - x, m - 1, k);

    for (let s of prev)
      result.push(pfx.concat(s));
  }
    
  return result;
}

var inputs = [
  [3, 3, 1],
  [3, 3, 2],
  [1, 2, 2]
];

for (let args of inputs){
  console.log('' + args);
  console.log(f(...args));
  console.log(JSON.stringify(g(...args)));
  console.log('');
}