在给定条件下将 N 个物品分配给三个人的方法数

Question

我一直在尝试解决一个问题，即确定将 N 个物品分发给三个人的方法的数量。如果第一个人得到的物品的总重量可以被 3 整除，第二个人得到的物品的重量可以被 5 整除，最后一个人得到的物品的总重量可以被 7 整除，那么分配将被认为是最好的。每个人得到的物品不应该是0。

第一个输入 N 被认为是项目数，第二行输入表示 N 个整数，表示项目的权重。第 i 个整数 a[i] 表示第 i 个项目的权重。有这样的限制，

3≤ N ≤12
1≤ a[i] ≤10^10

sample input 1:
6
2 3 5 7 9 13

sample output 1:
6

我尝试了一种解决问题的方法，但无法弄清楚如何更好地解决问题，以便第一人、第二人和第三人收到的物品的重量分别被 3、5 和 7 整除.我尝试让一个人在三个人中获得最大数量的物品，每个人至少获得一件物品，但无法弄清楚每个人获得的物品总重量可以被 3 整除的“最佳”解决方案, 5 和 7 分别。 您能否建议 DP 中的解决方案来解决所有测试用例中的问题？

这是我在三个人之间进行简单分配的解决方案。 TIA。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int countWays(int N)
{
    int ans = ((N-1)*(N-2))/2;

    //storing the number of distribution that is not possible
    int s = 0;

    for(int i=2; i<=N-3; i++){
        for(int j=1; j<i; j++){
            //possibilities of 2 persons receiving the maximum
            if (N == 2 * i + j)
                s++;
        }
    }

    if(N%3 == 0)
        s = 3*s+1;
    else
        s = 3*s;

    //final ways to distribute
    return ans - s;
}

int main()
{
    int n, N=0;
    cin >> n;

    if(n<3 && n>12)
        return 0;

    vector<int> a(n);

    for(int i=0; i<n; i++){
        cin>>a[i];
        N += a[i];
    }

    cout<<countWays(N);

    return 0;
}

Answer 1

您需要的动态编程状态是表示人 1、2 和 3 是否收到任何东西的三个标志，然后是 3 个数字，表示他们收到 mod 3、5 和 7 的总和。

在 Python 中，我会构建一个字典，其键是表示状态的元组，其值是计数。在 C++ 中，您可能更喜欢将状态表示为一个整数（每个值都由特定位编码）和一个表示查找的数组。无论哪种方式，您都从一端开始计数 1，因为没有人收到任何东西，处理每个项目并跟踪计数，以了解如何将它们分配给每个人，然后在另一端查找每个人都收到东西的计数总数为0。

这是一个 Python 解决方案，您可以验证它是否有意义。

def divisions (item_weights):
    count_by_state = {(False, 0, False, 0, False, 0): 1}
    for weight in item_weights:
        next_count_by_state = {}

        for state, count in count_by_state.items():
            # Each variable is pX_Y where
            #   X is the person
            #   Y is either r for whether they [r]eceived or w for [w]eight.
            p1_r, p1_w, p2_g, p2_w, p3_g, p3_w= state
            for next_state in [
                (True, (p1_w + weight)%3, p2_g, p2_w, p3_g, p3_w),
                (p1_r, p1_w, True, (p2_w + weight)%5, p3_g, p3_w),
                (p1_r, p1_w, p2_g, p2_w, True, (p3_w + weight)%7),
                ]:
                if next_state in next_count_by_state:
                    next_count_by_state[next_state] += count
                else:
                    next_count_by_state[next_state] = count

        count_by_state = next_count_by_state
    return count_by_state[(True, 0, True, 0, True, 0)]

print(divisions([2, 3, 5, 7, 9, 13]))

注意，通过更多的工作，我实际上可以按字典顺序打印解决方案。如果有更多，我可能会被要求提供第 500 个，然后只打印那个。然而，这是我已经解决的动态编程技巧，这些比赛似乎都不重要。

Answer 2

对于这么小的项目数量，您只需生成所有项目分布（3^12~~531000）并检查条件。

int countWays(int n, int* arr, int aa = 0, int bb = 0, int cc = 0) {
    if (n < 0) {
        return (aa*bb*cc > 0 && (aa % 3) == 0 && (bb % 5) == 0 && (cc % 7) == 0) ? 1 : 0;
    }
    return countWays(n - 1, arr, aa + arr[n], bb, cc) +
           countWays(n - 1, arr, aa, bb + arr[n], cc) +
           countWays(n - 1, arr, aa, bb, cc + arr[n]);
}

int main()
{
    int n = 6;
    int a[6] = { 2, 3, 5, 7, 9, 13 };

    std::cout << countWays(n-1, a);
}

打印6

对于较大的项目计数，也许值得使用带有记忆的动态编程。