算法：将 n 个任务分配给 k >n 个人，每个人都可以执行这些任务的一个子集

Question

我正在尝试为以下问题找到有效的解决方案：

问题： 假设我有一些任务（A、A、B、B、C）并且我有一些人可以执行以下一项或多项任务：

• person1：A,B（人 1 可以执行任务 A 或任务 B）
• person2：A，C
• person3：A
• person4: B,C
• person5：A，B

是否可以将我所有的任务交给这些人？一个人只能完成一项任务。

可能有多种解决方案，但我只想知道是否有解决方案。

我第一次尝试有效地解决这个问题是：

• 如果一个人只能完成一项任务，则将该任务分配给该人
• 如果一个任务需要做n次，有n个人可以做 这个任务，把这个任务分配给这 n 个人。

这足以解决上述问题。

• 2个人可以做B，B需要做两次。
  • 剩下的任务：A,A,C
  • 剩余人数：[A,C],[A],[B,C]
• 2人可以做A。
  • 剩余任务：C
  • 剩余人数：[B,C]

但这还不足以解决更复杂的问题，例如： 工作： IGGGFFDDCCBBB 人： ABCDEFG CEI 北 欧盟委员会 CEGI ADGI CEGI CI 助理总干事 北 DI BCDEFI ABDF ABEFG BCEGI ACDI BD 安倍 BCDEFGI

有没有解决这个问题的有效方法？我显然可以用深度优先搜索算法解决这个问题，但我想知道我是否可以在多项式时间内解决这个问题？ 我不禁相信这是一个众所周知的问题，但我一直无法在 google 上找到它。

感谢您的阅读:)

Answer 1

有效解决此问题的一种方法是将其表述为maximum flow problem。

在人员和他们可以完成的任务之间添加边界（容量 1）。

还在起点和每个人之间添加边（容量 1）

以及任务和目的地之间的一条边（容量 = 该任务需要完成的次数）。

使用NetworkX的示例Python代码：

import networkx as nx
from collections import Counter

jobs = 'IGGGFFDDCCBBB'
people = 'ABCDEFG CEI BEI CEFGI CEGI ADGI CEGI CI ADG BEI DI BCDEFI ABDF ABEFG BCEGI ACDI BD ABE BCDEFGI'

G=nx.DiGraph()
for person,tasks in enumerate(people.split()):
    P = 'person'+str(person)
    G.add_edge('start',P,capacity=1.0) # One person can do one thing
    for task in tasks:
        G.add_edge(P,'task'+task,capacity=1.0) # This person can do this task

C = Counter(jobs)
for task,count in C.items():
    G.add_edge('task'+task,'end',capacity=count) # Task appears count times in our job list

print nx.max_flow(G,'start','end') >= len(jobs)

Answer 2

是的，有一个有效的算法。这是最大二分匹配问题的一个例子。您所做的是创建一个二分图，其中节点是人和任务，并且有一条边将每个人与他们能够执行的每个任务连接起来。将人员分配给任务将对应于该图的匹配。

此算法并非完全简单，但可以高效执行，例如： http://www.cs.cmu.edu/~ckingsf/bioinfo-lectures/matching.pdf