for (int i = 2; i < n; i = i*i) 的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What's the time complexity of for (int i = 2; i < n; i = i*i)?for (int i = 2; i < n; i = i*i) 的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2021-06-09 10:18:28
【问题描述】：

以下循环的时间复杂度是多少？

for (int i = 2; i < n; i = i * i) {
    ++a;
}

在练习运行时复杂性时，我遇到了这段代码，但找不到答案。我以为这会是sqrt(n)，虽然它看起来不正确，因为循环的序列是2, 4, 16, 256, ...。

【问题讨论】：

fwiw，你已经准备好测量循环的复杂性了。为n选择不同的值，看看n和a的最终值是什么关系
a 的值（i 的值的数量）与 n 的值对估计复杂性很重要，而不是 i 的实际值。
（实际上这在任何传统架构上最多只能执行 5 次，所以一个明智的答案也是 O(1)。Big-O 仅在有合理意义的情况下才真正重要可以超过常数因子。）

标签： c++ algorithm performance runtime

【解决方案1】：

要理解答案，您必须了解：Exponent 的逆不是SQRT，而是log。

此循环将i 与自身相乘（即指数增量），并且仅在i >= n 时停止，因此复杂度为O(log(n))（精确到基数2，因为i=2 在初始化时)

为了说明这一点：

在上图中，您可以看到SQRT 给出了正确的步数只有当i 是 2 的偶数幂时。但是log2 每次都会给出准确的步数。

【讨论】：

【解决方案2】：

每次i 由 2 供电。因此，如果A(n) 在最后一步显示i 的当前值（即n），则可以将其写成递归，如下所示（假设 n 是 2 的幂）：

A(n) = A(n-1)^2

现在，你可以展开它来找到一个模式：

A(n) = A(n-2)^4 = A(n-3)^8 = ... = A(n-(n-1))^(2^(n-1)) = 2^(2^(n-1))

因此，循环迭代k 步骤使得n = 2 ^ (2^ (k-1))。因此，这个循环会迭代Theta(log(log(n))。

【讨论】：