将N个不同半径的圆定位在一个更大的圆内而不重叠

Question

给定 n 个半径为 r1 ... rn 的圆，将它们定位为没有圆重叠且边界圆的半径为“小”。

程序将列表 [r1, r2, ... rn] 作为输入并输出圆心。

1. 我要求“小”，因为“最小”半径将其转换为更困难的问题（最小版本已被证明是 NP 硬/完整 - 请参见问题结尾附近的脚注）。我们不需要最低限度。如果圆圈形成的形状看起来相当圆形，那就足够了。
2. 如果有帮助，您可以假设 Rmax/Rmin
3. 低优先级问题 - 程序应该能够处理 2000 多个圈子。一开始，100-200 圈应该没问题。
4. 您可能已经猜到，圆圈不需要紧紧地挤在一起，甚至不需要相互接触。

我们的目的是对给定的圆圈进行视觉上令人愉悦的排列，这些圆圈可以放在更大的圆圈内，并且不会留下太多的空白空间。 （如color blindness test picture 中的圆圈）。

您可以使用下面的 Python 代码作为起点（此代码需要 numpy 和 matplotlib - Linux 上的“sudo apt-get install numpy matplotlib”）...

import pylab
from matplotlib.patches import Circle
from random import gauss, randint
from colorsys import hsv_to_rgb

def plotCircles(circles):
    # input is list of circles
    # each circle is a tuple of the form (x, y, r)
    ax = pylab.figure()
    bx = pylab.gca()
    rs = [x[2] for x in circles]
    maxr = max(rs)
    minr = min(rs)
    hue = lambda inc: pow(float(inc - minr)/(1.02*(maxr - minr)), 3)

    for circle in circles:
        circ = Circle((circle[0], circle[1]), circle[2])
        color = hsv_to_rgb(hue(circle[2]), 1, 1)
        circ.set_color(color)
        circ.set_edgecolor(color)
        bx.add_patch(circ)
    pylab.axis('scaled')
    pylab.show()

def positionCircles(rn):
    # You need rewrite this function
    # As of now, this is a dummy function
    # which positions the circles randomly
    maxr = int(max(rn)/2)
    numc = len(rn)
    scale = int(pow(numc, 0.5))
    maxr = scale*maxr

    circles = [(randint(-maxr, maxr), randint(-maxr, maxr), r)
               for r in rn]
    return circles

if __name__ == '__main__':
    minrad, maxrad = (3, 5)
    numCircles = 400

    rn = [((maxrad-minrad)*gauss(0,1) + minrad) for x in range(numCircles)]

    circles = positionCircles(rn)
    plotCircles(circles)

---

补充说明：谷歌搜索结果中常用的圈包算法不适用于此问题。

因此，另一个“圆包装算法”的问题陈述是：给定一个复数 K（在这种情况下，图称为单纯复形，或简称为复数）和适当的边界条件，计算相应圆包装的半径K....

它基本上从一个图表开始，说明哪些圆相互接触（图的顶点表示圆，边表示圆之间的接触/切线关系）。必须找到圆的半径和位置，以满足图形表示的接触关系。

另一个问题确实有一个有趣的观察（独立于这个问题）：

圆包装定理 - 每个圆包装都有一个对应的平面图（这是容易/显而易见的部分），每个平面图都有一个对应的圆包装（不太明显的部分）。图和包装是对偶的，并且是唯一的。

在我们的问题中，我们没有平面图或切线关系。

这篇论文 - Robert J. Fowler、Mike Paterson、Steven L. Tanimoto：平面中的最优包装和覆盖是 NP 完全的 - 证明了这个问题的最小版本是 NP 完全的.但是，该论文无法在线获得（至少不容易获得）。

Answer 1

不是一个解决方案，只是一个集思广益的想法：IIRC 获得 TSP 近似解决方案的一种常见方法是从随机配置开始，然后应用本地操作（例如“交换”路径中的两条边）尝试并获得越来越短的路径。 (Wikipedia link)

我认为这里可能会出现类似的情况：

1. 从随机中心位置开始
2. “优化”这些位置，因此没有重叠的圆圈，因此圆圈尽可能靠近，方法是增加重叠圆圈之间的距离并减少其他圆圈之间的距离，直到它们紧密排列。这可以通过某种能量最小化来完成，或者可能有更有效的贪婪解决方案。
3. 将迭代改进算子应用于中心位置
4. 转到 2，在最大迭代次数后中断，或者如果最后一次迭代没有发现任何改进

有趣的问题是：您可以在第 3 步中使用哪种“迭代改进算子”？我们可以假设该阶段的位置是局部最优的，但可以通过重新排列大部分圆圈来改善它们。我的建议是在圆圈中任意选择一条线。然后取线“左边”的所有圆圈，并将它们镜像到垂直于该线的某个轴上： 您可能会尝试多行并选择最紧凑的解决方案。

这个想法是，如果一些圆圈已经处于或接近其最佳配置，那么这个操作很可能不会打扰它们。

我能想到的其他可能的操作：

• 取一个离中心最远的圆（一个接触边界圆），然后随机移动到其他地方：
• 选择一组彼此靠近的圆（例如，如果它们的中心位于随机选择的圆中）并将它们旋转一个随机角度。
• 另一种选择（虽然有点复杂）是测量圆圈之间的面积，当它们紧密排列时：

然后，您可以选择与最大圆间区域（图像中的红色区域）相邻的一个圆，并将其与另一个圆交换，或者将其移至边界的某个位置。

（对评论的回应：）请注意，几乎可以保证这些“改进”中的每一个都会在圆圈之间产生重叠和/或不必要的空间。但在下一次迭代中，步骤 2 将移动圆圈，使它们紧密排列且不再重叠。这样，我可以有一步进行局部优化（不关心全局优化），还有一步进行全局优化（这可能会产生局部次优的解决方案）。这比一个复杂的步骤同时完成这两个步骤要容易得多。

Answer 2

我有一个非常幼稚的一次传球（在半径上）solution 产生了不错的结果，尽管肯定有改进的余地。在这个方向上我确实有一些想法，但我想我不妨分享一下我的想法，以防其他人也想破解它。

看起来它们在中心相交，但事实并非如此。我用嵌套循环装饰了放置函数，该循环检查每个圆与其他圆（两次）并在有交叉点时引发AssertionError。

另外，我可以通过简单地对列表进行反向排序来获得接近完美的边缘，但我认为中心看起来不太好。它（几乎是唯一的事情；）在代码的 cmets 中进行了讨论。

这个想法是只查看一个圆可能存在的离散点，并使用以下生成器对其进行迭代：

def base_points(radial_res, angular_res):
    circle_angle = 2 * math.pi
    r = 0
    while 1:
        theta = 0
        while theta <= circle_angle:
            yield (r * math.cos(theta), r * math.sin(theta))
            r_ = math.sqrt(r) if r > 1 else 1
            theta += angular_res/r_
        r += radial_res

这只是从原点开始，沿着围绕它的同心圆描绘点。我们通过根据一些参数对半径进行排序来处理半径，以使大圆圈保持在中心附近（列表的开头），但在开头附近有足够的小圆圈来填充空格。然后我们迭代半径。在主循环中，我们首先遍历已经查看并保存的点。如果这些都不合适，我们开始从生成器中提取新点并（按顺序）保存它们，直到找到合适的位置。然后我们放置圆圈并浏览我们保存的点列表，拉出所有落在新圆圈内的点。然后我们重复。在下一个半径上。

我将把我的一些想法付诸实践，并使其成为mo`bettah。这可能是基于物理的想法的良好第一步，因为您可以从没有重叠的地方开始。当然，它可能已经足够紧，以至于你没有太多空间了。

另外，我从来没有玩过 numpy 或 matplotlib，所以我只写 vanilla python。里面可能有什么东西可以让它跑得更快，我得看看。

Answer 3

您能否将圆圈视为带电腔中的带电粒子并寻找稳定的解决方案？也就是说，圆圈根据接近程度相互排斥，但被吸引到原点。几个模拟步骤可能会给你一个不错的答案。

Answer 4

听起来像是圆形包装问题，这里有一些信息：

• Circle Packing Wolfram 数学世界
• Circle Packing Algorithms谷歌学术
• CirclePack software

Answer 5

http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_gasket

这似乎与您正在尝试做的事情有些相关，并且可能会为您提供一些潜在的限制。