我得到数字 3 和一个变量“n”，它可以高达 1 000 000 000（十亿）。我必须打印3^n modulo 100003 的答案。我尝试了以下方法：
std::pow(3,n)，但它不适用于大指数（在此过程中无法应用模数）。最后，我尝试对数字“n”进行素数分解，然后使用“n”的因数（以及它们出现的次数）来构建答案，这似乎是我能想到的最佳方法（如果它是正确的）。问题是对于一个已经是素数的巨大数字我该怎么办？
所以这些是我的想法，如果有人认为有更好的方法（或者如果我的一种方法是最佳的），我将不胜感激。
【问题讨论】：
标签： c++ arrays algorithm math integer-arithmetic
利用模运算的性质
(a × b) modulo M == ((a module M) × (b modulo M)) modulo M
使用上面的乘法规则
(a^n) modulo M
= (a × a × a × a ... × a) modulo M
= ((a module M) × (a modulo M) × (a modulo M) ... × (a modulo M)) modulo M
通过分而治之的方法计算结果。递归关系将是：
f(x, n) = 0 if n == 0
f(x, n) = (f(x, n / 2))^2 if n is even
f(x, n) = (f(x, n / 2))^2 * x if n is odd
这里是 C++ 实现：
int powerUtil(int base, int exp, int mod) {
if(exp == 0) return 1;
int ret = powerUtil(base, exp / 2, mod) % mod;
ret = 1LL * ret * ret % mod;
if(exp & 1) {
ret = 1LL * ret * base % mod;
}
return ret;
}
double power(int base, int exp, int mod) {
if(exp < 0) {
if(base == 0) return DBL_MAX; // undefined
return 1 / (double) powerUtil(base, -exp, mod);
}
return powerUtil(base, exp, mod);
}
【讨论】：
这是为了补充 Kaidul 的答案。
100003 是一个素数，它立即转换为Fermat's Little Theorem：任何提升到素数幂的数都与它本身模数一致。这意味着您不需要提高到n'th 次方。 n % 100002 电源就足够了。
编辑：示例。
说，n 是 200008，也就是 100002 * 2 + 6。现在，
3 ^ 200007 =
3 ^ (100002 + 100002 + 6) =
3 ^ 100002 * 3 ^ 100002 * 3 ^ 6
FLT 声称 (3 ^ 100002) % 100003 == 1 和上面的最后一行，模 100003 减少到 3 ^ 6。一般来说，对于素数p，
(k ^ n) % p == k ^ (n % p)
当然，只有当指数@987654332@ 大于p 时，它才会加快计算速度。根据您的要求（指数100，模100003），没有什么可以减少的。直接进入 Kaidul 的方法。
【讨论】：