最大化有向图中的最小边+节点值

Question

我有一个有向图。每条边都有一个固有的“权重”w_ij，它是固定的。每个节点都有一个可以配置的值v_i，除了“根节点”（没有传入边）和“叶节点”（没有传出边），它们的值是固定的。

每条边的“按节点调整”边值由下式给出： s_ij = w_ij + v_j - v_i 即我们通过其相邻节点的值的差异来调整边缘的值。当然，改变节点的值会影响s_ij的值。

我对@9​​87654326@的值很感兴趣，想找到最优的值分配给节点，让这个“瓶颈”值最大化。

你有什么想法吗？

注意：从根到叶的循环和“固定路径”提供最小值的上限（例如，在循环中，节点差的总和始终为 0，所以最好的可以得到的是边缘固有权重的平均值）。但是由于循环和“固定路径”可能重叠，因此尚不清楚是否可以达到最小上限。该解决方案很可能首先涉及找到此类路径/循环。

Answer 1

如果我理解正确，这个问题可以表述为这个线性程序。调整输入，使v_i = 0 对应每个顶点i，即源或汇。

maximize z

subject to
for every ij,
    z + v_i - v_j <= w_ij  (i.e., z <= w_ij + v_j - v_i = s_ij)

variables
z unbounded
for every vertex i not a source or sink,
    v_i unbounded

这是双重程序。

minimize sum_ij of w_ij y_ij

subject to
sum_ij y_ij >= 1
for every vertex i not a source or sink,
    sum_j y_ij - sum_j y_ji = 0

variables
for every ij,
    y_ij >= 0

如果我们不从守恒约束中排除源和汇，这将是最小平均成本周期的线性规划。就目前情况而言，我们仍然可以使用流分解技术来证明存在最优值，即源-汇路径或循环，我相信对寻找最小平均成本循环的简单算法稍作修改是适用于此。

一旦你得到最优值z*，你可以通过运行带有权重w_ij - z* 的Bellman-Ford 来找到潜力v_i。很抱歉没有提供更多细节，但我有一种烦人的感觉，我正在做你的功课。

Answer 2

我可以立即想到两种不同的方法：

首先，您可以对答案进行二分搜索。 检查你可以获得给定的最小边权重与最短路径问题密切相关——你有一堆关于节点权重差异的约束，每个约束的形式为w_i - w_j >= l_ij，其中 w 是固定的。

其次，您可以使用subgradient optimisation。您想要最大化边缘权重的最小值。在这里计算次梯度真的很容易。

这个问题可能有很多有用的结构，我在这里没有利用。您可以尝试写下线性编程放松并尝试一下。这样做——更深入地分析问题——几乎肯定会产生比上述任何一种方法更快的算法。