使循环更快

Question

我想计算一个数字是否是一个完美的数字（sum（proper divisors）== number）。所以我所要做的就是得到正确的除数，把它们加起来，看看它是否是数字。为此，我使用了一个 for 循环：

cin >> number;
sum = 1;
for (int i = number/2; i > 1; --i) {
  if (number % i == 0) {
    sum = sum + i;
  }
  if (sum > number) {break;}
}
if (sum == number) {cout << "perfect!" << endl;}

这个循环太慢了。如您所见，我已经完成的是，如果总和已经大于数字，则跳出循环，我从更大的数字开始（因此，如果总和更大，它会更快到达那里），并且由于 1 始终是适当的除数，我不需要循环它。

现在我有点没有想法了，非常感谢一些关于如何进一步改进这个循环的提示（或者甚至是完全不同的方法？）

Answer 1

您可以通过以下方式获得非常大的改进：

cin >> number;
sum = 1;
for (int i = sqrt(number); i > 1; --i) {
  if (number % i == 0) {
    sum += i + (number / i);
  }
  if (sum > number) {break;}
}
if (sum == number) {cout << "perfect!" << endl;}

如您所见，此循环从输入的平方根开始，而不是输入的一半。这在最坏的情况下提供了 O(sqrt(N)) 的改进。对于一个数的任何一对除数，一个必须位于平方根之上，一个位于平方根之下。另一个需要注意的重要事情是整数除法/模数非常昂贵，但是在计算它们时，两者都是同时计算的。这意味着一旦你计算了number % i，number / i 基本上是免费的。因此，我的代码中每次迭代的成本与您的代码中的每次迭代成本基本相同，但迭代次数要少得多。

如果您这样做，您可能还需要考虑向上计数而不是向下计数，如果您的目标是提前退出，那么一般来说，您最好从小数字开始，因为更多极值除数的总和（一个非常高, 一个非常低) 较大。此外，数字越小，除数的密度也会越高。

请注意，我的代码并不完全正确，有一些边缘情况需要考虑，完美的正方形就是一个例子。

Answer 2

如果你真的想缩短这个循环的时间并测试大数，首先你可以尝试Miller-Rabin test 来消除素数。然后用Fermat factorisation method求数的除数。

如果您测试小数字，您应该从 1 开始迭代并仅测试数字直到数字的平方根 (reference)。

Answer 3

有一些方法可以优化它。

1. 循环 sqrt(N) 次，而不是 N/2 次。 (O(sqrt(N))
2. 使用预生成的数组。 (O(0)?)
3. 使用threads的神奇力量。 （视情况而定）
4. 使用筛子去除素数。 (O(N) ~ O(N^2))

Answer 4

你可以实现一些简单的优化：

1. 只检查素数。您可以使用简单的sieve 快速且高效地找到它们。您也可以找到它们一次并保存在文件中。 UPD：小心，在这样的实现中很容易引入错误。一种可能的正确方法是找到所有除数，将它们保存在数组中，然后遍历所有可能的组合以计算实际总和。它可以递归完成。
2. 从 2 开始，一直到数字的平方根，如果找到除数，请执行 sum += i + number/i。自然顺序而不是逆序通常会更快，因为它会立即找到会显着增加总和的小除数。

如果您要解决非常大的数字的问题，您将无法快速解决，因为它是Integer factorization 问题的一个实例，已知很难有效地解决（即没有已知的多项式算法）。所以没有办法让这个循环比提议的实现更快（渐近）。

但另一方面，整数因式分解是一个古老且非常重要的问题，因此有一些库可以通过先进的启发式和汇编程序级优化快速解决它。