您可以继续使用所谓的“二分搜索”技术
这是解决问题的关键。实际上它是的解决方案。让我画两个函数：
f(x) g(x)
/ --
/ --
/ --
/ --
/--
-*
--/
-- /
-- /
^ ^
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xlow xhigh
您有xlow 和xhigh 作为f(x) 与g(x) 交叉位置的估计值。在您的问题中，f(x) = ax 和 g(x) = sin(x)。
首先，让我们看看为什么xlow 和xhigh 做出了很好的估计。如果您注意到，在xlow，我们有f(x) < g(x)，在xhigh，我们有f(x) > g(x)。由于函数是连续的，因此在f(x) == g(x) 之间存在某个点。
现在让我们看看xlow 和xhigh 之间的中间点：
f(x) g(x)
/ --
/ --
/ --
/ --
/--
-*
--/
-- /
-- /
^ ^ ^
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xlow xmid xhigh
现在在xmid，我们有f(x) > g(x)（在这个例子中）。所以：
f(xhigh) > g(xhigh)
f(xmid) > g(xmid)
f(xlow) < g(xlow)
由于在xmid 和xlow 之间，函数会发生更大的变化（换句话说，f(x) - g(x) 会改变它的符号），那么答案肯定是在xlow 和xmid 之间（注意xmid 和 xhigh 之间仍然可能存在偶数个解决方案，但我们目前无法确定）。
所以，如果我们分配xhigh = xmid，我们将：
f(x) g(x)
/--
-*
--/
-- /
-- /
^ ^
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xlow xhigh
但这和以前的问题一样！除了我们将解决方案的可能位置缩小了一半。重复我们有：
f(x) g(x)
/--
-*
--/
-- /
-- /
^ ^ ^
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xlow xmid xhigh
f(xhigh) < g(xhigh)
f(xmid) > g(xmid)
f(xlow) > g(xlow)
这一次，f(x) - g(x) 的符号在xmid 和xhigh 之间变化，所以我们会做xlow = xmid 来切除我们不感兴趣的范围的前半部分。我们得到：
f(x) g(x)
/--
-*
--/
^ ^
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xlow xhigh
同样的问题，只是我们将解决方案的可能范围缩小了一半。
在 while 循环中重复此操作，在某些时候|f(xmid) - g(xmid)| 几乎为零（比如小于 0.000001（或 1e-6）（另请注意绝对值））。在这种情况下，我们停止搜索并说那个特定的xmid 就是答案。 （请参阅 here 了解为什么我们不检查相等性，而是检查接近性）。
还有一个问题。对于您的特定功能，可能会有许多横截面。我们如何找到xlow 和xhigh？好吧，我们希望[xlow, xhigh] 范围只包含一个解决方案。所以我们可以逐步找到这些范围并找到它们之间的横截面。
假设a > 0（以及x > 0 的解决方案），图表将如下所示：
----- f(x) = ax
_ _ __*__ _ g(x) = sin(x)
/ \ /_*___----- / \ /
/ *____---*- \ / \ /
|---- | | | | | |
| | | | | |
\ / \ / \ /
\_/ \_/ \_/
那么让我们看看解决方案在哪里。当然，这不是sin(x) < 0。然后在[2kπ, 2kπ + π/2] 和[2kπ + π/2, 2kπ + π] 上可能各有一个解决方案。最初的[0, π / 2] 可能有也可能没有解决方案，具体取决于a。所以最安全的方法是枚举所有这些范围，计算f(x) - g(x) 的xlow 和xhigh 并查看它们的符号。如果标志没有改变，就没有解决方案，我们可以继续前进。如果它确实改变了，我们执行上面的二进制搜索。
算法什么时候结束？我们知道g(x) = sin(x) <= 1 并且我们知道对于a > 0，f(x) = ax 总是在增加。所以当你有f(xlow) > 1，那么肯定没有更多的解决方案了。
因此算法将是：
Main Algorithm:
for k = 0,1,...
xlow = 2kπ
xhigh = 2kπ + π/2
binary_search(xlow, xhigh)
xlow = 2kπ + π/2
xhigh = 2kπ + π
binary_search(xlow, xhigh)
binary_search:
if axlow-sin(xlow) and axhigh-sin(xhigh) have the same sign
return no result in this range
do
xmid = (xhigh + xlow) / 2
diff = axmid - sin(axmid)
if diff and axlow-sin(xlow) have the same sign
xlow = xmid
else
xhigh = xmid
while abs(diff) > epsilon
return xmid
对于a < 0 的情况，解决方案类似（除了范围更改为sin 循环的另一半）。顺便说一句，对于您在上面找到的每个x，-x 也是一个解决方案！