当实际时间复杂度是阶跃函数时，为什么二分查找的时间复杂度为 O(log n)？

Question

这是人们通常遇到的对数时间复杂度的定义：

对数运行时间O(log n) 本质上意味着运行时间与输入大小的对数成比例增长。

但在某些情况下，时间的增长似乎严格与输入大小的对数成比例。例如，考虑二分搜索。据说该算法的时间复杂度为O(log n) 。我生成了大小从 2 到 1000 的数组，并且对于每个数组，我计算了最坏情况下的迭代次数（即数组拆分）。这是结果

显然，实际的时间复杂度不是log2(n)（只有当log2(x) 是整数时，两个函数才有相同的输出x）。

所以我的问题是，为什么我们说二分搜索算法具有O(log n) 复杂度，而时间复杂度实际上是一个阶跃函数？（以@987654329 开头的推导@ 并且在一些代数操作以 x = log2(N) 结束后没有解释原因）

Answer 1

您的观察是正确的。但是，big-O 是渐近符号。一般来说，在讨论时间复杂度时，我们对提供精确操作数量的函数不感兴趣，但我们对时间如何作为输入大小的函数增长感兴趣 - 特别是对于sufficiently large 输入大小。

如果你花点时间了解一下 big-O 的definition，你会发现一些有趣的属性。一个这样的性质是 O(f(n)) = O(c * f(n) + d)，其中 c > 0 和 d em> 是常量（如果 f(n) 不是常量）。

让我们从您的示例中获取阶跃函数 s(x)。我们知道对于任何 x，log(x) - 1 。我们认识到 -1 是一个常数，因此可以得出 O(s(x)) = O(log(x))。