从输入数据点生成平滑曲线的算法

Question

我正在寻找一种算法，可以在点进入时平滑地插值 live。

例如，假设我从一个包含 10 个 (x,y) 对的数组开始。我目前正在使用 scipy 和高斯窗口来生成平滑曲线。但是，我不知道如何更新平滑曲线以响应在未来某个点生成的第 11 个点（没有完全重做所有 11 个点的平滑）。

我正在寻找的是一种算法，它遵循之前的平滑曲线直到第 10 个 (x,y) 对 并且 也 在第 10 个和第 11 对（以类似于重做整个算法的方式 - 所以没有锋利的边缘）。有什么东西可以满足我的需求吗？

Answer 1

我认为您可以使用Cubic Spline。给定n 点(x_1, y_1)..(x_n, y_n) 的列表，算法在(x_k, y_k) 和(x_{k+1}, y_{k+1}) 之间找到一个三次多项式p_k，并具有以下约束：

• 多项式p_k和p_{k+1}经过点(x_{k+1}, y_{k+1});
• 多项式p_k 和p_{k+1} 在(x_{k+1}, y_{k+1}) 处具有相同的一阶导数；
• 多项式p_k 和p_{k+1} 在(x_{k+1}, y_{k+1}) 处具有相同的二阶导数。

此外，还为第一个和最后一个多项式定义了一些边界条件。我使用了natural，它在曲线末端强制二阶导数为零。

您可以应用的步骤是：

1. 使用三次样条插值前 10 个点。
2. 将p_10 处的一阶导数值赋给变量d。
3. 对p_10 和p_11 运行三次样条，强制p_10 处的一阶导数为d，p_11 处的二阶导数为零。

从那里，您可以对剩余的点重复相同的步骤。

此代码将为所有点生成插值：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline

height=4
n = 20
x = np.arange(n)
xs = np.arange(-0.1,n+0.1,0.1)
y = np.random.uniform(low=0, high=height, size=n)

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
cs = CubicSpline(x, y)
plt.plot(xs, cs(xs), color='orange')
plt.ylim([0, height+1])

现在，此代码将插入前 10 个点，然后在点 10 和 11 之间进行另一个插值：

k = 10
delta = 0.001

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
xs = np.arange(x[0], x[k-1]+delta, delta)
cs = CubicSpline(x[0:k], y[0:k])
plt.plot(xs, cs(xs), color='red')

d = cs(x[k-1], 1)

xs2 = np.arange(x[k-1], x[k]+delta, delta)
cs2 = CubicSpline(x[k-1:k+1], y[k-1:k+1], bc_type=((1, d), 'natural'))
plt.plot(xs2, cs2(xs2), color='blue')

plt.ylim([0, height+1])