前缀和算法的时间复杂度答案

【问题标题】：Time complexity of a prefix sum algorithm前缀和算法的时间复杂度
【发布时间】：2018-09-13 01:40:06
【问题描述】：

鉴于以下伪代码，我想知道在尝试确定时间复杂度时我的思维过程是否正确。

for i = 0 to n-1
   Add the numbers A[0] thru A[i].
   Store the result in B[i].

该算法将循环 n 次，并且由于最后一次迭代将需要最多的计算量（n 次计算），该算法将总共进行 n^2 + f(n) 次计算。其中f(n) 是次数为n^2 的多项式 或更少。 因此该算法是二次的O(n^2)。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

由于Add the numbers A[0] thru A[i]. 的时间复杂度为\Theta(i)，因此您的代码的时间复杂度为\Theta(1 + 2 + 3 + ... + \Theta(n)) = \Theta(n^2)。因此，您对代码的分析是正确的。

【讨论】：

【解决方案2】：

我们可以用以下代码替换您的代码

    for i 0 to n - 1
        for j 0 to i
            b[i] += a[j]   <---

为了找到这个算法的大O，我们需要计算有多少执行第 3 行的次数。

为了简单起见，假设所有 a[i] 元素都等于 1 所以如果我们在 i 为 0 到 n -1 时找到 b[i] 的总和然后我们找到第 3 行运行的次数。

i: b[i]
0: 1
1: 2
2: 3
..
n - 1: n

因此所有 B[i] 的总和为 n * (n + 1) / 2 这是 O(n^2)

【讨论】：