乘法的背包算法答案

【问题标题】：Knapsack algorithm for multiplication乘法的背包算法
【发布时间】：2012-05-11 14:22:52
【问题描述】：

我有一组 N 数字，每个数字都附加一些成本，问题是选择所有可能的数字集作为列表，使其乘积小于某个数字 M，按照排序成本的总和。

例如：- 数字集是

(number, costOfThatNumber) : {(90, 10) , (80, 20), (60, 40), (40, 60), (15, 85)},

并且产品必须小于，Prod <= 1000，

可能的解决方案是：-

[Solution 1 :- {(15, 85), (40, 60)} :- Product = 600 (which is less than, 1000), cost = 85 + 60 = 145]
[Solution 2 :- {(15, 85), (80, 20)} :- Product = 900 and cost = 105]

所以列表变成了{Solution2, Solution1}。

PS :-

这不是作业问题，在采访中被问到。我只被问到算法，我只能说它看起来有点像背包问题，但用于乘法。
如果我无法正确解释问题，请原谅。

【问题讨论】：

如果不是最佳解决方案，即使有人给我一个蛮力算法，我也会很感激，我什至可以找到一种方法来选择所有可能的集合子集。
你的例子错了吗？ 15*80不是900……不应该是(15, 85),(60,40)吗？

标签： algorithm knapsack-problem

【解决方案1】：

我认为可以将问题简化为背包问题。

注意

x1 * x2 * ... * xn <= M <-> 
log(x1*x2*...*xn) <= log(M) <-> 
log(x1) + log(x2) + ... + log(xn) <= log(M)

所以可以用背包找到最优解：

weight'(item) = log(weight(item))
value(item) = value(item)
M' = log(M)
run Knapsack on the items with weight', value, M'

需要更多的工作来获得所有可行的解决方案，不仅是最佳解决方案，而且由于这些解决方案的数量是指数级的（2^n 如果M = infinity），我怀疑甚至有伪多项式解决方案。

一个无效的解决方案只是创建power set（包含所有可能集合的集合），并检查每个集合的可行性及其值，并根据它们的值将可行的解决方案存储在有序集合中。 This post 解释了如何获得电源组。

【讨论】：

这是最佳算法肯定具有指数运行时间（以获得所有解决方案）的少数情况之一，这仅仅是因为最坏情况下的输出大小是指数的。在所有情况下，输出大小都是复杂度的下限。如果您需要计算并填充内存中的 X 个位置，则需要 X 步来完成，尽管每个结果的计算可能很琐碎，但无法绕过它。

【解决方案2】：

如上所述，这不是背包问题。只需按升序排序，从头开始挑选直到达到产品限制，然后根据成本重新排序。如前所述，不要求总成本应低于任何阈值或限制，因此最佳解决方案只是选择具有最小第一个元素的对。

【讨论】：