双胞胎的方法是什么？答案

【问题标题】：What would be the methods of a bi-comonad?双胞胎的方法是什么？
【发布时间】：2017-04-11 15:09:47
【问题描述】：

一边思考什么更有用的标准类建议to this one

class Coordinate c where
  createCoordinate :: x -> y -> c x y
  getFirst :: c x y -> x
  getSecond :: c x y -> y
  addCoordinates :: (Num x, Num y) => c x y -> c x y -> c x y

我突然想到，这里可能潜伏着一个更普通的野兽，而不是 VectorSpace-y 或 R2：Type -> Type -> Type，它的两个包含的类型都可以提取。嗯，也许他们可以是extracted？

原来comonad 和bifunctors 包都不包含名为Bicomonad 的东西。问题是，从理论上讲，这样的课程是否有意义？不像Bimonad（它也没有定义，而且我真的看不出它会是什么样子），一个天真的定义似乎是合理的：

class Bifunctor c => Bicomonad c where
  fst :: c x y -> x
  snd :: c x y -> y
  bidup :: c x y -> c (c x y) (c x y)

可能有法律规定

fst . bidup ≡ id
snd . bidup ≡ id
bimap fst snd . bidup ≡ id
bimap bidup bidup . bidup ≡ bidup . bidup

但我感到不安的是，bidup 的结果的两个字段都包含相同的类型，并且还有很多其他的，也许是“更好”的可以想象的签名。

有什么想法吗？

【问题讨论】：

不是答案，而是：A (co)monad 只是 endo 函子类别中的 (co)monad（函子组合作为张量积），对? Haskell 双函子不是内函子。所以我不确定真正的双（共）单子会是什么样子，或者即使在双函子之上构建这样的东西是否有意义。但也许还有一些有用的东西看起来“有点像”双胞胎，所以这仍然是一个有趣的问题。
也不是答案，但我来自数学方面。对我们来说，bimonad 是一个 comonoidal monad，即它是一个 monoidal 类别上的 monad，其模块类别又是 monoidal 类别。（回想一下，如果代数是双代数，代数上的模块就形成了单曲面范畴）。同样，双单胞胎是单环单胞胎。
@JoBe 很有趣！你能用数学符号详细说明一下吗？

标签： haskell category-theory comonad bifunctor

【解决方案1】：

这不是答案，但是对于Bimonad，这个怎么样？

class Biapplicative p => Bimonad p where
  (>>==) :: p a b -> (a -> b -> p c d) -> p c d

biap :: Bimonad p => p (a -> b) (c -> d) -> p a c -> p b d
biap p q = p >>== \ab cd -> q >>== \a c -> bipure (ab a) (cd c)

instance Bimonad (,) where
  (a,b) >>== f = f a b

我不知道这是否绝对正确/有趣，甚至远程有用，但从 Haskell 的角度来看，它闻起来很合适。它是否与您的 Bicomonad 或类似内容匹配？

【讨论】：

不确定；这看起来很像普通的 Monad 仅限于元组参数（然后被柯里化）。
@leftaroundabout 同意。不过，我确实想知道您的双单胞是否/如何与仅限于元组参数的单胞不同。
@leftaroundabout，Biapplicative 不也是这样吗（如果你排除了像 Const 这样无聊的函子）？
@dfeuer，我认为Const 是更重要的应用程序之一，如果您从事编写它们的业务，那是应用程序擅长的。只是说...