IEEE 64 位浮点数无法区分两个整数的第一个值是多少？

Question

我指望Double（符合IEEE 的64 位浮点数）来跟踪一些非常大的数字。问题是我需要保持整数的单位分辨率（那些地方）。

问题是我知道，随着 IEEE 浮点值的增加，它们的精度会降低。我确信在某个时候，我们会得到这样的结果：

...
xxxxxxxxxxxxxxxxx04
xxxxxxxxxxxxxxxxx05
xxxxxxxxxxxxxxxxx06
xxxxxxxxxxxxxxxxx08
xxxxxxxxxxxxxxxxx10
...

其中一些整数根本无法表示。我想知道那个点在哪里，以便我能够防范它、警告用户或制定公司政策。

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请注意，我使用浮点数是有充分理由的；小数部分对应用程序也很重要，但远不如整数部分重要。

Answer 1

IEEE-754 基本 64 位二进制浮点格式使用 53 位有效位。它编码的每个有限数的形式为 s • F • 2^e，其中 s em>（符号）为+1或-1，F（小数）为53位二进制数b的个数。bbb em>…bbb（注意第一位后面的“.”），e 是从 -1022 到 +1023 的指数。 （通常，浮点数通过位移位以将前 1 位移动到前导 b 位置并调整指数来补偿来标准化。关于可表示值的讨论，我们可以忽略这一点；所有可以用前导 0 表示的数字也可以用前导 1 表示，只要指数在范围内，这是针对这个问题的。）

这告诉我们回答问题所需的一切。从 0 到 2⁵³−1 的每个整数都可以用 +1 的形式表示 • b.bbb…bbb • 2⁵² 表示位 b.bbb…bbb 的一些值组合。并且 2⁵³ 可以表示为 +1 • 1.000…000 • 2⁵³。但是 2⁵³+1 是不可表示的，因为它需要 1.000…0001 形式的 F，其中需要 54 位（第一个用于 2^{53 和最后一个为 20)。}

之后，2⁵³+2 是可表示的，因为跨越它的最高和最低 1 位只需要 53 位（从 2⁵³ 到 2^{1）。所以，在这个量级上，偶数是可表示的，而奇数是不可表示的。}

因此，从连续可表示整数到不可表示整数的转换如下所示：

• 9,007,199,254,740,919 = 2⁵³-3 是可表示的。
• 9,007,199,254,740,920 = 2⁵³−2 是可表示的。
• 9,007,199,254,740,921 = 2⁵³-1 是可表示的。
• 9,007,199,254,740,922 = 2⁵³ 是可表示的。
• 9,007,199,254,740,923 = 2⁵³+1 不可表示。
• 9,007,199,254,740,924 = 2⁵³+2 是可表示的。
• 9,007,199,254,740,925 = 2⁵³+3 不可表示。
• 9,007,199,254,740,926 = 2⁵³+4 是可表示的。

Answer 2

根据Wikipedia：

任何绝对值小于2的整数²⁴都可以用单精度格式精确表示，任何绝对值小于2的整数⁵³都可以以双精度格式精确表示。 此外，可以表示这种数字的 2 倍的广泛幂。这些属性有时用于纯整数数据，以便在具有双精度浮点但只有 32 位整数的平台上获取 53 位整数。

^强调我的

也就是说，IEEE 64 位的最高整数精度数是 9,007,199,254,740,992，其次是 9,007,199,254,740,994。以您的问题格式：

9007199254740990
9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992
9007199254740994
9007199254740996
9007199254740996

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请注意，一些浮点到字符串的算法会这样打印：

9007199254740990.0
9007199254740991.0
9007199254740992.0
9007199254740992.0
9.007199254740994e+15
9.007199254740996e+15
9.007199254740996e+15